Categoría: Primera Evaluación

Se define la función $T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2$ por $T(a)=(a-2,a)$, entre los espacios vectoriales reales $(\mathbb{R},\oplus,\odot)$ y $(\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot)$, cuyas operaciones están definida por:$\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}$Determine, de ser posible:

Sea $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $2$, con entradas reales y las operaciones usuales. Sean $a$ un número real fijo, $B_1=\{1,x,x^2 \}$ la base canónica y $B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}$.

Sea $V=M_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real, de todas las matrices cuadradas de orden $2$, con entradas reales y las operaciones usuales de adición y multiplicación por un escalar para matrices. Sean $\small{H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix} : a-b-c-d=0 \end{Bmatrix}}$ y $\small{W=gen\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&1 \end{pmatrix} \end{Bmatrix}}$ dos subespacios de $M_2(\mathbb{R})$. Determine, de ser posible:

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondientemente, cual de ellas es verdadera o falsa. En cada caso, justifique su respuesta bien sea presentando alguna demostración, contraejemplo o cálculo.