Sea la matriz A=\begin{pmatrix}1&1&2&4\\3&c&2&8\\0&0&2&2 \end{pmatrix}Halle los posibles valores de c para que la dim\;Im(A) sea 1, 2, 3 y 4. Justifique cada una de sus respuestas.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
a. Si V es un espacio vectorial con operaciones cualesquiera, entonces (v')'=v para todo vector v que pertenece a V.
Nota: El inverso aditivo de v se denota como v'.
b. Sean W y H dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial V. Si dim\;W=dim\;H, entonces W=H.
c. Si A es una matriz de tamaño 3\times 5, entonces dim\;Nu(A)\ge 2.
Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases del espacio vectorial V=\mathbb{P}_2. Suponga que:\begin{aligned}[x^2-x]_{B_1} &= (1,1,0)\\ {[x+1]_{B_1}}&=(0,1,0) \\ {[2x^2+1]_{B_1}}&=(1,-1,0) \\ {[u_1+u_2]_{B_1}}&=(3,1,1) \\{[u_2+u_3]_{B_1}}&=(5,2,0) \\{[u_3]_{B_1}}&=(3,0,0) \end{aligned}Encuentre los vectores de ambas bases.
Para la ecuación -2x^2+4xy+y^2+2x-1=0. Identifique la cónica que corresponde, indicando el ángulo de rotación y su ecuación, sin el término de rotación, en su forma canónica.
Sea V=\mathbb{R}^4 y los subespacios:\begin{aligned} S&=\{(x,y,z,w)\in \mathbb{R}^4\; : \; x-2y+w=0\; ; \; z+w=0\}\quad \textnormal{y}\\ T&=gen\{(1,0,0,1),(5,1,3,-3)\} \end{aligned}Halle una base y dimensión para S+T y S\cap T.
Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:
a. Si A es diagonalizable.
b. La matriz A.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Sea \theta\in [0,2\pi] fijo y T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es:A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}entonces T es invertible.
b. Sea \{u_1,u_2,...,u_k\} un conjunto de vectores linealmente independientes y sea S el subespacio generado por dicho conjunto. Si v\notin S, entonces el conjunto \{u_1,u_2,...,u_k,v\} también es un conjunto linealmente independiente.
c. Se sabe que las transformaciones lineales T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2 y S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3 son no nulas y satisfacen que S es inyectiva y Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2. Por ello, la nulidad de T es 3.
d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.
Sea V=\mathbb{R}^3 y sea H el subespacio de Vdefinido como H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}usando el producto interno canónico o estándar, halle:
a. El complemento ortogonal de H.
b. Una base ortonormal de H.
c. La proyección ortogonal de x sobre H.
Determine los valores propios y vectores propios de la matriz A y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz A.A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}
Construya de ser posible un operador lineal T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4, tal que el espacio propio asociado al valor propio \lambda=0 seaW=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}y ademásT\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}
