Categoría: Exámenes

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo c\in \mathbb{R}.\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}

b. Si B es una matriz de orden n semejante a una matriz A de orden n y diagonalizable, entonces B es diagonalizable.

c. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sean u, v y w vectores de V. Si \langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle, entonces u=v.
Nota: \langle u,w \rangle denota el producto interno en V.

d. Sea T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim \; V=dim \; W=n y T es sobreyectiva, entonces T es inyectiva.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere \mathbb{P}_3, el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, con el producto interno definido por:\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}Considere además la transformación T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3 definida por T(p)=p(-1)+p(0)x^2.

a. Determine una base para la imagen de T.

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal T.

c. Encuentre la proyección ortogonal de r(x)=3x^3+2x^2+x+1 sobre el núcleo de T.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Se sabe que \lambda_1 = 2 y \lambda_2 = -3 son los valores propios de una matriz A de tamaño 3\times 3 y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}Determine:

a. Si A es diagonalizable.

b. La matriz A.

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sean B_1 y B_2 bases de \mathbb{R}^2 tales que M_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -3 \end{pmatrix} es la matriz de cambio de base de B_1 a B_2.

a. Si [u]_{B_1}=\begin{pmatrix}-1\\4 \end{pmatrix}, calcular [u]_{B_2}.

b. Si [v]_{B_2}=\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix}, calcular [v]_{B_1}.

c. Si B_1=\{(1,3),(0,4)\}, obtener la base de B_2.

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de a\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.

b. Sean V un espacio vectorial, sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno y v_1,v_2\in V dos vectores no nulos. Si v_1 y v_2 son dos vectores ortogonales, entonces [v_1,v_2] es un conjunto linealmente independiente de V.

c. Si A es una matriz 2\times 2 y p(\lambda) es su polinomio característico, entonces p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A).

d. Sean V un espacio vectorial, con producto interno, u, v dos vectores cualesquiera en V, si \lVert u\rVert=\lVert v\rVert, entonces u+v es ortogonal a u-v.

e. Sean H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} } y K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }. Entonces H\cup K es un subespacio de \mathbb{R}^3.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz A=\small{\begin{pmatrix}2a-b & 0 & 2a-2b\\ 1 & a & 2 \\ b-a & 0 & -a+2b\end{pmatrix}}. Determine, de ser posible, los valores de a y b para que A sea una matriz diagonalizable.

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

En el espacio de la matrices de entradas reales y orden 2, M_{2\times 2}(\mathbb{R}), se define el producto interno \langle A,B \rangle = Tr(B^T A). Sea H=\{A\in M_{2\times 2}(\mathbb{R})\;:\;Tr(A)=0\}.

a. Sean A=\small{\begin{pmatrix}k-2 & 0\\ 1 & s+2\end{pmatrix}} y B=\small{\begin{pmatrix}2 & 10\\ 0 & -2\end{pmatrix}}\in H. Determine, de ser posible, los valores de s y k para que A y B sean matrices ortogonales.

b. Encuentre H^{\perp}.

c. Encuentre la proyección de B sobre H^{\perp}, es decir, Proy_{H^{\perp}}B.

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

Si T:\mathbb{P}_2\longrightarrow \mathbb{R}^4 es una transformación lineal del espacio de polinomios de grado menor o igual que 2 en \mathbb{R}^4, tal que[T]_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1\end{pmatrix}siendo B_1=\left\{x^2 - x + 1,\;x+2,\;1 \right\} y B_2=\scriptsize{\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\right\}}.
Determinar:

a. T(x^2),\; T(x),\; T(1).

b. T(ax^2+bx+c), para a,b,c \in \mathbb{R}.

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Si A es una matriz de orden n\times n con valor propio cero, entonces A es una matriz singular (no invertible).

b. Sean V un espacio vectorial con producto interno y v_1, v_2\in V. Si v_1 y v_2 son dos vectores ortogonales, entonces [v_1, v_2] es un conjunto linealmente independiente de V.

c. Sea T:V \longrightarrow W una transformación lineal. Si dim\; V=dim\;W=n y T es sobreyectiva, entonces T es un isomorfismo.

d. Sea V un espacio vectorial con producto interno y sean A, B subconjuntos de V tales que 0_v\in A\cap B, entonces {(A+B)}^{\perp}=A^{\perp}\cap B^{\perp}.

Tema 6

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 6

Sean B=\{v_1,v_2\} y B^{'}=\{u_1,u_2\} dos bases de un espacio vectorial real V, tales que u_1=v_1 -2 v_2 y u_2=3v_1 + 4v_2. Hallar:

a. La matriz de cambio de base de B a B^{'}.

b. Las coordenadas del vector 5u_1-u_2 en la base B.

c. Las coordenadas del vector 7v_2 en la base B^{'}.