Sea V un espacio vectorial real sobre el cual se ha definido al producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}. Demuestre que para todo par u,v\in V se cumple que {\langle v | u \rangle}=\frac{1}{4}{\lVert u+v \rVert}^2 - \frac{1}{4}{\lVert v-u \rVert}^2.
Sea V un espacio vectorial complejo sobre el cual se ha definido al producto interno {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}. Demuestre que para todo par u,v\in V y \alpha \in \mathbb{C}, se cumple que {\langle u | \alpha v \rangle}=\bar{\alpha}{\langle u | v \rangle}.
A continuación se presentan cinco enunciados, a cada uno de los cuales se le han adjuntado cuatro proposiciones, donde al menos una es verdadera. Determine y marque en el círculo correspondiente, la o las opciones correctas.
Literal a. Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal y B=\{ u_1,u_2,...,u_n\} es una base del espacio V, entonces es cierto que:
| a.1. | T es inyectiva si, y sólo si, Ker(T)=\{\bold{0}_W\} genera a W. |
| a.2. | T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) son vectores linealmente independientes en W. |
| a.3. | T es sobreyectiva si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} genera a W. |
| a.4. | T es un isomorfismo si, y sólo si, \{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \} es una base de W. |
Literal b. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo \mathbb{K}. Si S_1 y S_2 son subespacios de V, entonces es cierto que:
| b.1. | dim(S_1 + S_2)=dim(S_1)+dim(S_2). |
| b.2. | S_1 + S_1^\perp = \{\bold{0}_V\}. |
| b.3. | (S_1^\perp)^\perp \subseteq S_1. |
| b.4. | En general, S_1 \cup S_2 es un subespacio. |
Literal c. Dada la representación matricial de un sistema de ecuaciones, y realizadas las operaciones elementales de filas se obtiene la matriz\begin{pmatrix}\begin{array} {ccc|c} 1&1&a&a \\ 0&a-1&1-a&0 \\ 0&0&2-a-a^2&1-a^2 \end{array}\end{pmatrix}entonces es cierto que:
| c.1. | Ningún sistema de ecuaciones puede tener esta matriz como representación matricial. |
| c.2. | Si a\neq 1 y a\neq -2 el sistema tiene solución única. |
| c.3. | Para a=1 el sistema tiene infinitas soluciones. |
| c.4. | Para a=-2 el sistema no tiene solución. |
Literal d. Sea V un espacio vectorial, de dimensión finita y definido sobre un campo \mathbb{K}, entonces es cierto que:
| d.1. | Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces \{ v_2,...,v_n \} también es un conjunto linealmente independiente en V. |
| d.2. | Si B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto linealmente independiente en V y w\in V es un vector no nulo, entonces \{v_1,v_2,...,v_n,w \} también es un conjunto linealmente independiente en V. |
| d.3. | Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} y B_2=\{ u_1,u_2,...,u_n \} son dos bases de V, B_1 \cap B_2 también es una base en V. |
| d.4. | Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces \{ v_1,v_1+v_2,v_1+v_3,...,v_1+v_n \} es también una base de V. |
Literal e. Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A\in M_n{(\mathbb{R})} asociados al autovalor \lambda. Es cierto que:
| e.1. | u_1-u_2 es vector propio asociado a A^2-A. |
| e.2. | u_1+u_2 es vector propio asociado al valor propio \lambda. |
| e.3. | u_1\perp u_2. |
| e.4. | La multiplicidad geométrica de \lambda debe ser 2. |
Dada la transformación lineal T:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3 definida porT\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a\\b\\c \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} a-2b-2c\\-2a+bm+8c\\2a+8b+cm \end{array} \end{pmatrix},determine los valores de la constante m para los cuales no es diagonalizable en \mathbb{R} la matriz [T]_{BB}, asociada a la transformación con respecto a las bases canónicas B en \mathbb{R}^3.
Sea V=P_3(\mathbb{R}) el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3 con coeficientes reales, con el producto interno {\langle f | g \rangle}=\int_{-1}^{1} f(x)g(x) dx.
4.1. Determinar el complemento ortogonal de W=gen\{ 1+x,x^2 - 1 \}.
4.2. Escriba el vector v=x^3+3x^2-x+1 como suma de un elemento en W y su complemento ortogonal W^{\perp}.
Sean {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1 y {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 dos productos internos en un espacio vectorial V sobre el campo de los complejos. Demuestre que {\langle \cdotp | \cdotp \rangle}={\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_1+{\langle \cdotp | \cdotp \rangle}_2 es un producto interno sobre V.
Construya, de ser posible, una transformación lineal T:M_{2\times 2}\longrightarrow \mathbb{R}^3 tal que el núcleo de T sea el conjunto de matrices simétricas de tamaño 2\times 2, yT\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} 0&1\\-1&0 \end{array} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}.
A continuación se presentan cuatro enunciados, cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones correctas (más de una puede ser correcta en cada caso). Marque, con una X, aquella o aquellas opciones correctas.
Literal a. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si dim{V}=n y dim{W}=n-1, es cierto que:
a.1. T debe ser sobreyectiva.
a.2. T(\textbf{0}_V)=\textbf{0}_W.
a.3. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces no necesariamente \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es un conjunto linealmente independiente de W.
a.4. El rango de T es menor o igual a n-1.
Literal b. Si u y v son vectores ortogonales de un espacio real, entonces es cierto que:
b.1. \lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2.
b.2. u y v son linealmente independientes.
b.3. 3u y -4v son ortogonales.
b.4. u y u+v no pueden ser ortogonales.
Literal c. Sea A una matriz cuadrada de orden n en un campo \mathbb{R}, entonces es cierto que:
c.1. A y A^T tienen el mismo polinomio característico.
c.2. Si A es ortogonalmente diagonalizable, entonces es simétrica.
c.3. \lambda es un autovalor de A sí, y solo sí, \lambda es una raíz del polinomio característico de A.
c.4. La multiplicidad algebraica de un autovalor \lambda se define como la dimensión del autoespacio E_{\lambda}.
Literal d. Sea A una matriz cuadrada diagonalizable de orden n con entradas en un campo \mathbb{K} es cierto que:
d.1. A tiene n autovectores linealmente independientes.
d.2. A tiene n autovectores diferentes.
d.3. A debe se una matriz simétrica.
d.4. Existen matrices cuadradas P y D tales que A=P^{-1}DP.
Sean B_1=\{v_1,v_2,v_3\} y B_2=\{u_1,u_2,u_3\} bases ordenadas del espacio vectorial V. Suponga que:\begin{array} {rrr} {[\cos^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[\sin x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 1\\0\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[\sin^2 x]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\2\\1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 - u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 0\\1\\1 \end{array} \end{pmatrix}} & {[u_1 + u_2]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} -2\\1\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \\ \\ {[u_1 + u_2 + u_3]_{B_1}=\begin{pmatrix} \begin{array}{r} 2\\0\\-1 \end{array} \end{pmatrix}} \end{array}Determine:
5.1. La matriz de cambio de base de B_2 a B_1.
5.2. Los vectores de la base B_1.
5.3. Los vectores de la base B_2
Sea \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de las matrices de orden 2\times 2 con entradas reales. Sea S el subconjunto de todas las matrices en \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}) cuya suma de los elementos de cada fila es cero y la suma de los elementos de cada columna es cero. Demuestre que S es un subespacio de \mathbb{M_{2\times 2}}(\mathbb{R}).
