Sea V=C[0,1] el espacio vectorial de las funciones continuas en el intervalo [0,1] con producto interno\langle f,g \rangle=\int_{1}^{0} f(x) g(x) dxEncuentre un polinomio de grado menor o igual a 1 que mejor aproxime a la funciónf(x)=e^{-x} con x\in [0,1].
Nota: Suponga a los polinomios de grado menor o igual a 1 como un subespacio vectorial de V.
Sea T:\mathbb{R}^4\longrightarrow\mathbb{R}^4 una transformación lineal definida comoT(x,y,z,w)=(0,x,x+y,x+y+z)Se conoce también que v=(1,0,0,0).
Pruebe que B=\{v,T(v),T^2(v),T^3(v)\} es un conjunto linealmente independiente en \mathbb{R}^4.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Si A es una matriz de tamaño n\times n, u y v son vectores de \mathbb{R}^n, entonces se cumple que \langle Av,u \rangle=\langle v,A^T u \rangle.
Nota: \langle u,v \rangle representa el producto interno.
b. Sea V un espacio vectorial y T un operador lineal definido sobre V, entonces se cumple que Nu(T^2) \subseteq Nu(T).
c. Sea A y B matrices semejantes, entonces las matrices A^T y B^T también lo son.
d. Sea T:V\longrightarrow W una transformación lineal. Si \{v_1,v_2,...,v_n\} es un conjunto linealmente independiente en V, entonces el conjunto \{T(v_1),T(v_2),...,T(v_n)\} es linealmente independiente en W.
Sea el sistema de ecuaciones lineales\left\{ \begin{aligned} x+y+z&=a \\ x+2y-z&=b \\ x+y-z&=c \end{aligned} \right.Considere al sistema como el modelo AX=B, siendoB=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}Determine qué valores deben tomar los elementos del vector B para que el sistema de ecuaciones lineales sea consistente.
Sean las matrices A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}1&2\\-1&1 \end{array} \end{pmatrix} y B=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}0&-1\\1&2 \end{array} \end{pmatrix}, encuentre la matriz X tal que (AX^T+B)^T=X.
Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe de consumir diariamente trece unidades de carbohidratos, veintidós de proteínas, y treinta y uno de grasas. Un restaurante lanza tres tipos de platos. El plato uno contiene una unidad de carbohidrato, una unidad de proteína y una unidad de grasa, El plato 2 contiene una unidad de carbohidrato, dos unidades de proteínas y tres unidades de grasas. El plato tres contiene cuatro unidades de carbohidratos, siete de proteínas y diez de grasas. Encuentre las distintas combinaciones de platos (uno, dos y tres) que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de carbohidratos, proteínas y grasas que sugiere el nutricionista en una dieta diaria. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.
Sea el espacio vectorial V=M_{2\times 2}. Sean los subespacios vectoriales\begin{aligned}H&=\left\{ \left(\begin{array}{rr}a & b \\c & d \end{array} \right) \in \mathbb{M}_{2\times 2}\; ;\; c=2a-b\; \land \; d=a-b \right\}\\W& =gen \left\{ \left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\5 & 1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rr}2 & 2 \\2 & 1 \end{array} \right) \right\} \end{aligned}
a. Halle H\cap W y H+W.
b. ¿Pertenece el vector A=\left(\begin{array}{rr}9 & 8 \\7 & 5 \end{array}\right) al subespacio H+W? Justifique su respuesta.
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.
a. Si p(x)=2x^2+x y {[p(x)]}_B=\begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix}, entonces B es la base canónica \{ x^2,x,1 \}.
b. Sea V=\mathbb{R}^3. Se define el subconjunto H de V comoH=\left\{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^3\; ; \; x^2+y^2+z^2 \le 0 \right\}Entonces H es un subespacio vectorial de V.
c. Sea V el espacio vectorial de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores \{ 1,\cos x,\sin x \}, entonces el vector u=\tan x pertenece al subespacio vectorial H.
d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V, entonces se cumple que det(A+B)\ne 0.
Defina:
a. Independencia Lineal.
b. Matriz semejante.
Para el operador lineal en \mathbb{P}_2 definido como T(p(x))=(x-1)p'(x)+p(0). Halle la representación matricial de T usando la siguiente base para \mathbb{P}_2:B_1=B_2=\{ x-1,x+1,x^2+1 \}
