Sea V=\mathbb{R}^4 y sea H=\{ v\in \mathbb{R}^4\; ; \;v=(a,b,-b,-a)\; ; \; a,b\in \mathbb{R} \}.
a. Halle H^{\perp}.
b. Determine Proy_{H^{\perp}}^v siendo v=(2,0,1,1).
Determine el valor de k\in \mathbb{R} para que la matriz A sea diagonalizable.A=\begin{pmatrix} k&0&1\\0&k&0\\1&0&k \end{pmatrix}
Para la transformación lineal T:\mathbb{P}_3 \rightarrow \mathbb{P}_3 definida comoT(p(x))=xp'(x) determine:
a. Una base para el núcleo y el recorrido de T.
b. El rango y nulidad de T.
c. ¿Es T inversible? Justifique su respuesta.
Sea el espacio vectorial de las matrices \mathbb{M}_{3\times 3} se define la matriz M como sigueM=\begin{pmatrix}3&2&0\\2&3&0\\0&0&3 \end{pmatrix}
a. Determine el valor de \alpha para que la matrizA=\begin{pmatrix}13&12&0\\12&13&0\\0&0&\alpha \end{pmatrix}pertenezca al subespacio generado por M e I.
Nota: I denota la matriz identidad.
b. Se define el subconjunto E de \mathbb{M}_{3\times 3} como E=\footnotesize{\{ aI+bM+cM^2\; ; \; a,b,c\in \mathbb{R} \}}. Demuestre que E es un subespacio vectorial.
c. ¿Cuál es la dimensión de E?
Sea la matriz A=\begin{pmatrix}0&1&0&3&2\\0&2&0&6&4\\0&2&2&5&3 \\0&1&2&1&0 \end{pmatrix}
a. Determine una base para el espacio fila, para el núcleo y la imagen de A.
b. Halle la nulidad y rango de la matriz.
Sea S un subespacio vectorial del espacio vectorial de \mathbb{M}_{2\times 2} dado comoS=gen\left\{ \begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \begin{array}{rr}-1&-1\\0&0 \end{array} \end{pmatrix} \right\}Halle la Proy_{S^{\perp}}C siendo C=\begin{pmatrix} 1&1\\0&0 \end{pmatrix}. Use \langle A,B \rangle=Traza({A^T}B)
Sea T el operador lineal definido sobre M_{2\times 2} con regla de correspondenciaT(A)=\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}A-A\begin{pmatrix} 1&2\\1&1 \end{pmatrix}
a. Determine una base y dimensión para el kernel y recorrido de T.
b. ¿Es T invertible? Justifique su respuesta.
c. Halle T^2.
d. Determine los valores propios de T^2. ¿Es T^2 diagonalizable?
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta.
a. Sea f:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} una función definida comof((x_1,y_1),(x_2,y_2))=x_1x_2-x_1y_2-x_2y_1+ky_1y_2Entonces es verdadero que \forall k\in \mathbb{R}\;, \; f(x,x)>0.
b. Sean v_1 y v_2 dos vectores propios de una matriz A, entonces v_1+v_2 también es un vector propio de A.
Sea V=\mathbb{P}_2. Sea el subconjunto H definido comoH=\{ p(x)\in \mathbb{P}_2 \;/\; p'(0)+p''(0)=0\}Determine si H es un subespacio vectorial; si lo es, halle una base y dimensión de H.
Sea V=\mathbb{R}^3. Sean los conjuntos:\begin{aligned}W&=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 / (x,y,z)=(0,0,1)+(0,1,2)t\; ;\; t\in \mathbb{R}\}\\U&= \{ u\in \mathbb{R}^2 / u=f(w)\; ;\; w\in W\}\end{aligned}y sea la función f:\mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^2 tal que f(x,y,z)=(4x-2y,y+z)Determine:
a. Si f es una transformación lineal.
b. La representación gráfica de W.
c. La representación gráfica de U.
