cl1-01. Matrices y Determinantes

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Propiedades de la suma de matrices

Conmutatividad: $\forall\ A,B\in M_{m\times n} \text{ }A+B=B+A$

Asociatividad: $\forall\ A,B,C\in {{M}_{m\times n}}\text{ }(A+B)+C=A+(B+C)$

Existencia de la matriz neutro-aditivo: $\exists\ \text{ }{{\mathbf{0}}_{m\times n}}\text{ }\forall A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }A+\mathbf{0}=A$

Existencia de la matriz inverso-aditivo: $\forall\ A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\exists \text{ }A_{m\times n}^{*}\text{ }A+{{A}^{*}}=\mathbf{0}$

Propiedades del producto de matrices

Asociatividad: $\forall\ A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\forall B\in {{M}_{n\times p}}\text{ }\forall C\in {{M}_{p\times q}}\text{ }(AB)C=A(BC)$

Distribución por la derecha: $\forall\ A,B\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\forall C\in {{M}_{n\times p}}\text{ }(A+B)C=AC+BC$

Distribución por la izquierda: $\forall\ A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }\forall B,C\in {{M}_{n\times p}}\text{ }A(B+C)=AB+AC$

Propiedades del producto de un escalar por una matriz

Distribución respecto a la suma de matrices: $\forall\ k\in \mathbb{R}\text{ }\forall A,B\in {{M}_{m\times n}}\text{ }k(A+B)=kA+kB$

Distribución respecto a la suma de escalares: $\forall\ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\in \mathbb{R}\text{ }\forall A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }({{k}_{1}}+{{k}_{2}})A={{k}_{1}}A+{{k}_{2}}A$

(Pseudo) Asociatividad: $\forall\ {{k}_{1}},{{k}_{2}}\in \mathbb{R}\text{ }\forall A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }({{k}_{1}}.{{k}_{2}})A={{k}_{1}}({{k}_{2}}A)$

(Pseudo) Asociatividad: $\forall\ k\in \mathbb{R}\text{ }\forall A\in {{M}_{m\times n}}\forall B\in {{M}_{n\times p}}\text{ }k(AB)=(kA)B=A(kB)$

Propiedades de la transposición de matrices

$\forall\ A\in {{M}_{m\times n}}\text{ }{{\left( {{A}^{T}} \right)}^{T}}=A$

$\forall\ A,B\in {{M}_{m\times n}}\text{ }{{\left( A+B \right)}^{T}}={{A}^{T}}+{{B}^{T}}$

Si el producto AB está definido, se cumple que ${{(AB)}^{T}}={{B}^{T}}{{A}^{T}}$

Propiedades de la traza de una matriz

$\forall\ A,B\in {{M}_{n\times n}}\text{ }tr\left( A+B \right)=tr(A)+tr(B)$

$\forall\ A,B\in {{M}_{n\times n}}\text{ }tr\left( AB \right)=tr(BA)$

$\forall\ k\in \mathbb{R}\text{ }\forall A\in {{M}_{n\times n}}\text{ }tr(kA)=k.tr(A)$

$\forall\ A\in {{M}_{n\times n}}\text{ }tr\left( A \right)=tr({{A}^{T}})$

Propiedades de la inversa de una matriz

Si $A,B\in {{M}_{n\times n}}$ son invertibles, entonces se cumple que:

$AB$ es invertible y ${{\left( AB \right)}^{-1}}={{B}^{-1}}{{A}^{-1}}$

${{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{-1}}=A$

${{A}^{n}}$ es invertible y ${{\left( {{A}^{n}} \right)}^{-1}}={{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{n}}$, donde n es un número entero.

${{A}^{T}}$ es invertible y ${{\left( {{A}^{T}} \right)}^{-1}}={{\left( {{A}^{-1}} \right)}^{T}}$

Si $k\in \mathbb{R}$ y $k\ne 0$, entonces ${{\left( kA \right)}^{-1}}=\frac{1}{k}\left( {{A}^{-1}} \right)$

Propiedades del determinante de una matriz

$\forall\ A,B\in {{M}_{n\times n}}\text{ }\det (AB)=\det (A)\det (B)$

$\forall\ A\in {{M}_{n\times n}}\text{ }\det (A)=\det ({{A}^{T}})$

Si $A\in {{M}_{n\times n}}$ es invertible, entonces $\det ({{A}^{-1}})=\frac{1}{\det (A)}$

$\forall\ A\in {{M}_{n\times n}}\text{ }\forall k\in \mathbb{R}\text{ }\det (kA)={{k}^{n}}\det (A)$

Operaciones de renglón (o de columna)

Sea A una matriz ${{M}_{m\times n}}$, donde ${{f}_{i}}$ denota la i-ésima fila de la matriz (también, ${{c}_{i}}$ la i-ésima columna) de la misma; con esta notación, describiremos las operaciones de renglón como sigue:

• ${{f}_{i}}\leftrightarrow {{f}_{j}}$: Intercambiar dos filas de una matriz (o ${{c}_{i}}\leftrightarrow {{c}_{j}}$ para el intercambio entre dos columnas).
• $k.{{f}_{i}}$: Multiplicar un renglón por un escalar diferente de cero ($k\ne 0$).
• ${{f}_{i}}+k.{{f}_{j}}$: Sumar a una fila un múltiplo de otra fila.

El resultado de aplicar una operación de renglón es una nueva matriz B, que no necesariamente es igual a la primera, pero se denomina «equivalente por renglones», es decir, B se puede obtener a partir de A mediante operaciones de renglón.

Operaciones de renglón y el determinante

Sean A y B dos matrices ${{M}_{n\times n}}$ tal que B es equivalente por renglones a la matriz A.

Si $A \stackrel{f_{1} {\leftrightarrow} f_{2}}{\longrightarrow} B$, entonces ${det(B) = -det(A)}$ Es decir, al intercambiar de posición dos filas, el determinante de la nueva matriz B es el negativo del determinante de la matriz original A.

Si $A \stackrel{k.{{f}_{i}}}{\longrightarrow} B$, entonces ${det(B)= k.det(A)}$ ($k\ne 0$) Es decir, al multiplicar una fila por un escalar k diferente de cero, el determinante de la nueva matriz B es igual a k-veces el determinante de la matriz original A.

Si $A \stackrel{{{f}_{i}}+k.{{f}_{j}}}{\longrightarrow} B$, entonces ${det(B) = det(A)}$ Es decir, con esta operación de renglón, el determinante de la nueva matriz B es igual al determinante de la matriz original A.

Una matriz cuadrada que contiene una fila (o columna) compuesta enteramente de ceros, tiene un determinante igual a cero. Además, si en una matriz hay dos filas iguales (o columnas iguales), su determinante es cero.