cl1-03. Rango de una Matriz

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Definición. Sea $A$ una matriz $m\times n$, el rango de $A$ es el número de filas no nulas que resultan luego de reducir por renglones a la matriz.

Notación. Se denota el rango de la matriz A como $\rho\left(A\right)$, $Rg\left(A\right)$ o $r\left(A\right)$.

 

Ejemplo 1. Dada la matriz $A=\scriptsize{\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)}$, calcule su rango.

Solución.

$\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)
\begin{array}{c} {\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\ \longrightarrow \\ {\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\end{array}
\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & -3 \\ 0 & 5 & -5 & 3 \end{array}\right)
\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$

Por consiguiente, el rango de la matriz $A$ es 2.

Aplicación en el análisis de los sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Kronecker-Capelli. Sea el sistema de ecuaciones lineales $Ax=b$, entonces el sistema es consistente (o compatible) si y solo si el rango de $A$ es igual al rango de la matriz aumentada $\left(A|b\right)$; es decir $\rho\left(A\right)=\rho\left(A|b\right)$

Ejemplo 2. Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}
x&+&2y&-&z&+&w&=&5 \\
3x&+&y&+&2z&& &=&2 \\
-2x&+&y&-&3z&+&w&=&3 
\end{array}\right.$

Solución. La representación matricial del sistema $Ax=b$ es $\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\\w \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\2\\3 \end{array}\right)$donde $A=\scriptsize{\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & -3 & 1 \end{array}\right)}$ y $b=\scriptsize{\left(\begin{array}{c}5\\2\\3 \end{array}\right)}$.

La representación con matriz aumentada $\left(A|b\right)$ es $\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\3 & 1 & 2 & 0&2 \\ -2 & 1 & -3 & 1 &3\end{array}\right)$y su resolución mediante operaciones de renglón (forma escalonada) es

$\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 3 & 1 & 2 & 0&2 \\ -2 & 1 & -3 & 1 &3\end{array}\right)
\begin{array}{c} {\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\ \longrightarrow \\ {\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\end{array}
\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\ 0 & 5 & -5 & 3 &13\end{array}\right)
\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right)$

donde se observa que el rango de la matriz aumentada $\left(A|b\right)$ es 2. De la misma manera, al omitir la matriz $b$ y analizar, se observa que el rango de A también es 2, es decir$\rho \left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-13\\ 0 & 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right)=\rho \left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente.

Ejemplo 3. Analice el sistema de ecuaciones lineales del ejemplo previo que ha sido modificado como: $\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}x&+&2y&-&z&+&w&=&4 \\
3x&+&y&+&2z&& &=&1 \\
-2x&+&y&-&3z&+&w&=&1 
\end{array}\right.$

Solución. La representación con matriz aumentada y su resolución mediante operaciones de renglón (forma escalonada) es

$\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &4\\ 3 & 1 & 2 & 0&1 \\ -2 & 1 & -3 & 1 &1\end{array}\right)
\begin{array}{c} {\scriptsize f_{2}-3f_{1}} \\ \longrightarrow \\ {\scriptsize f_{3}+2f_{1}}\end{array}
\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-11\\ 0 & 5 & -5 & 3 &9\end{array}\right)
\stackrel{f_{3}+f_{2}}{\longrightarrow}
\left(\begin{array}{rrrr|r}1 & 2 & -1 & 1 &5\\ 0 & -5 & 5 & -3 &-11\\ 0 & 0 & 0 & 0 &2\end{array}\right)$

donde se puede observar que la matriz aumentada $\left(A|b\right)$ tiene rango 3, pero al omitir la aumentada $b$, se obtiene que el rango de $A$ es $2$. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es inconsistente.

El rango provee además información sobre el tipo de solución cuando un sistema de ecuaciones lineales $\left(A|b\right)$ es consistente. El número de incógnitas es el número de columnas $n$ de la matriz $A$, mientras que el número de variables libres es igual a $n-\rho$. En consecuencia, un sistema de ecuaciones lineales consistente tiene infinitas soluciones, si y solo si, $n-\rho$ es mayor que cero $\left(n>\rho\right)$, pero tiene solución única si $n=\rho$.

En el sistema de ecuaciones lineales consistente del Ejemplo 2, se tiene que $\rho=2$ pero el número de incógnitas es $n=4$. Luego, la cantidad de variables libres es $n-\rho=2$ y el sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones.

Ejemplo 4. Analice el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el concepto de rango: $\left\{ \begin{array}{rcrcl}2x&-&3y&=&6 \\
x&-&3y&=&0 \\
3x&-&3y&=&12 
\end{array}\right.$

Solución. La representación con matriz aumentada y su resolución mediante operaciones de renglón (forma escalonada) es

$\left(\begin{array}{rr|r} 2 & -3 & 6\\ 1 & -3 & 0\\ 3 & -3 & 12 \end{array}\right) \begin{array}{c} \stackrel{f_{1} {\leftrightarrow} f_{2}}{\longrightarrow} \end{array}\left(\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\2 & -3 & 6\\3 & -3 & 12\end{array}\right) \begin{array}{c} {\scriptsize f_{2}-2f_{1}} \\ \longrightarrow \\ {\scriptsize f_{3}-3f_{1}}\end{array} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -3 & 0\\0 & 3 & 6\\0 & 6 & 12\end{array}\right) \stackrel{f_{3}-2f_{2}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{rr|r}1 & -3 & 0\\0 & 3 & 6\\0 & 0 & 0\end{array}\right)$

donde se puede observar que $\rho\left(A|b\right)=\rho\left(A\right)$. Por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales es consistente.

El número de incógnitas es $2$, y el rango es $2$, por consiguiente, el sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, pues la cantidad de variables libres es $n-\rho=0$.

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Referencias Bibliográficas