cl2-02. Subespacios Vectoriales

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial y sea $H$ un subconjunto no vacío de $V$. Entonces, $H$ es un subespacio de $V$ si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. $\forall\ h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ H:h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\space H$
2. $\forall\ h\ \mathrm{\in}\ H\ \mathrm{\wedge}\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha\odot h\ \mathrm{\in}\space H$

Expresado de otra forma, un subconjunto de vectores constituye un subespacio vectorial, si éste a su vez constituye un espacio vectorial y al mismo tiempo es un subconjunto de un espacio vectorial mayor.

Para determinar si un subconjunto es o no un subespacio vectorial, es necesario que sea no vacío y mostrar que cumple con los axiomas de cerradura:

Una manera de determinar que $H$ es no vacío, es demostrando que el vector nulo está en $H$, razón por la cual algunos autores indican como axioma adicional que $n_V{{\in}H}$. Es conveniente notar que si los axiomas 1 y 2 se satisfacen y $H$ es no vacío, entonces existe al menos un elemento $u\!\in\!H$; así se tiene que $(-1)\odot u{{\in}H}$ por el axioma 2, y $u+(-1)\odot u=n_V\!\in\!H$; de donde, si se cumplen los axiomas 1 y 2 además de que $H$ es no vacío, es decir, $n_V \! \in \! H.$

Ejemplo. Determine si el subconjunto $H$ de todos los vectores en $\mathbb{R^3}$ de la forma $\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ constituye un subespacio vectorial en $\mathbb{R^3}$.

Solución. Para determinarlo, se debe probar que H es no vacío (nótese que el vector (0,0,0) pertence a H), y que el subconjunto cumple con los axiomas de cerradura de la suma entre vectores y multiplicación por un escalar.

Sean $h_{\mathrm{1}}=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ y $h_{\mathrm{2}}=\left(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right)$ entonces:
$h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}=\left(x_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right)$ Nótese que la tercera componente es la suma de las dos primeras. Por consiguiente el axioma si se cumple.

Sea $h=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ entonces:
$\alpha\odot h=\alpha\odot\left(x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha\left(x_{1},x_{2}\right)\right)$Por consiguiente el axioma si se cumple.

En conclusión, al cumplir con los $2$ axiomas entonces el subconjunto $H$, con las operaciones convencionales de suma entre vectores ($\oplus$) y multiplicación por un escalar ($\odot\alpha$), representa un subespacio vectorial.

Cuando no se especifican las operaciones, por definición, se asumen las operaciones convencionales de suma entre vectores ($\oplus$) y multiplicación por un escalar ($\odot\alpha$).

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Referencias Bibliográficas