cl2-04. Conjunto Generador

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Definición. Se dice que los vectores $v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}$ generan el espacio vectorial $V$ si cualquier vector que pertenece a $V$ puede expresarse como combinación lineal de los mismos; es decir,$\forall v\in V$existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$, tales que $v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n$Por consiguiente, los vectores $v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}$ constituyen un conjunto generador de $V$.

Notación. Conjunto generador de $V$ se denota como $V=gen \left \{v_1,v_2,...,v_n\right\}$.

Ejemplo. Sea $V$ el espacio vectorial $\mathbb{R^3}$ y sean:$v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\ v_3=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$Determine si los vectores $v_1,v_2,v_3$ constituyen un conjunto generador de $V$.

Solución. Para determinar si $\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ constituye un conjunto generador de $V$ se verifica si existen constantes $\alpha_1,\alpha_2$ y $\alpha_3$ tales que:$v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3$de donde$v=\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+\alpha_3\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ Una vez planteado el sistema de ecuaciones lineales asociado, se utiliza un vector característico del espacio vectorial $V$ como parte de la matriz adjunta correspondiente $\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&\alpha_2&+&\alpha_3&=&x \\ 2\alpha_1& & &+&\alpha_3&=&y \\ \alpha_1&+&\alpha_2& & &=&z \end{array}\right.$$\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1&x\\ 2 & 0 & 1&y\\ 1 & 1 & 0&z \end{array}\right)$ Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene:$\alpha_1=\frac{-2x+2y+z}{3}\quad \alpha_2=\frac{x-y+z}{3}\quad \alpha_3=\frac{4x-y-2z}{3}$

Por consiguiente, como los escalares $\alpha_1,\alpha_2$ y $\alpha_3$ pueden expresarse en función de las componentes del vector característico de $V$; entonces el conjunto de vectores, $\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$, constituye un conjunto generador de $V$, es decir, $V=gen \left \{v_1,v_2,v_3\right\}$.

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Referencias Bibliográficas