cl2-05. Independencia Lineal

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Definición. Sean $v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}}$, $n$ vectores en un espacio vectorial $V$; entonces, se dice que esos vectores son linealmente dependientes si existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n$, no todos cero, tales que$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_n=n$donde $n$ es el neutro del espacio vectorial.

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Ejemplo. Sea $\wp_1$ el conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado menor o igual a $1$. Determine si $\left\{x+1,3x+2,4-x\right\}$ es un conjunto de vectores linealmente independiente.

Solución. Si $\left\{x+1,3x+2,4-x\right\}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes, se tiene que$\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3=n \qquad \Longleftrightarrow \qquad \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$de donde$\alpha_1 (x+1)+\alpha_2 (3x+2)+\alpha_3 (4-x)=0x+0$Se plantea el sistema de ecuaciones lineales asociado$\left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&3\alpha_2&-&\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1&+&2\alpha_2&+&4\alpha_3&=&0 \end{array}\right.$Al resolver el sistema se obtiene$\alpha_1=-14\alpha_3 \qquad \wedge \qquad \alpha_2=5\alpha_3$donde $\alpha_3$ puede tomar cualquier valor o número real distinto de cero.

Por consiguiente, $\left\{v_1,v_2,v_3\right\}$ no constituye un conjunto de vectores linealmente independientes; es decir, los vectores $v_1,v_2$ y $v_3$ son linealmente dependientes.

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Referencias Bibliográficas