cl2-06. Bases y Dimensiones

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Definición. Se denomina base de un espacio vectorial $V$ a un subconjunto finito de vectores $\small{A=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}}$, si y solo si, $A$ es linealmente independiente y es un conjunto generador de $V$.

Observación. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendrán el mismo número de vectores.

Ejemplo. Sean $\small{f(x)=x^2+1}$, $\small{g(x)=3x-1}$ y $\small{h(x)=-4x+1}$, demuestre que $\small{H=\left\{f,g,h\right\}}$ es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, $\mathcal{P}_2$.

Solución. Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad$\begin{array}{rcl}\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& n \\ \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\ \alpha_1 (x^2+1)+\alpha_2 (3x-1)+\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+\alpha_1 + 3\alpha_2 x - \alpha_2 - 4\alpha_3 x + \alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+(3\alpha_2 - 4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\end{array}$Esto implica que$\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1 &=&0 \\ 3\alpha_2 -4\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 &=&0 \end{array}\right.$Al resolver el sistema se tiene que éste tiene solución única y esta dada por $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$; es decir, la igualdad $\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x)=0$ se cunple solo si $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$. Por tanto, el conjunto $\small{H=\left\{f,g,h\right\}}$ es linealmente independiente en $\wp_2$.

Ahora se verifica que el conjunto $H$ genere a todo $\wp_2$. Para esto, se considera $p(x)=ax^2 +bx+c$ y escalares $\alpha_1$, $\alpha_2$ y $\alpha_3$ tales que $\begin{array}{rcl}p(x)&=&\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) \\ &=&\alpha_1 x^2+(3\alpha_2 -4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) \end{array}$Lo cual genera el sistema$\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1&=&a \\ 3\alpha_2-4\alpha_3&=&b \\\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3&=&c \end{array}\right.$Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene solución pues la matriz adjunta del mismo es $(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&b\\ 1 & -1 & 1&c \end{array}\right)$que en forma escalonada reducida es$(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \end{array}\right)$Entonces $\rho(A|B)=\rho(A)=3$. Luego como el sistema siempre tiene solución, independientemente de los valores de $a$, $b$ y $c$ se concluye que el sistema es consistente; además, su única solución es $\alpha_1=a$, $\alpha_2=4a-b-4c$ y $\alpha_3=3a-b-3c$. En consecuencia, cualquier polinomio $p(x)=ax^2 +bx+c$ en $\wp_2$ puede ser expresado como combinación lineal de los polinomios $\small{f(x)=x^2+1}$, $\small{g(x)=3x-1}$ y $\small{h(x)=-4x+1}$, es decir, $\small{\wp_2=gen\left\{f,g,h\right\}}$.

Por consiguiente, dado que $H$ es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces $H$ es una base para $\wp_2$.

 

Definición. Si el espacio vectorial $V$ tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de $V$ es el número de vectores en todas las bases y $V$ se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, $V$ se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si $V=\left \{ 0_V\right\}$ (neutro del espacio), entonces se dice que $V$ tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión $V$ se denota por $dim\ V$.

La dimensión de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:$\begin{array}{rcl}dim\ \mathbb{R^n}&=&n \\ dim\ \wp_n&=&n+1\\ dim\ \mathbb{M_{m\times n}}&=&m\times n\end{array}$

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Referencias Bibliográficas