cl2-07. Operaciones entre Subespacios

Definición. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
Interseccioˊn:H∩W={v∈V/v∈H∧v∈W}Unioˊn:H∪W={v∈V/v∈H∨v∈W}Suma:H+W={v=h⊕w∈V/h∈H∧w∈W}\small{\begin{array}{lrcl}
{Intersecci\acute{o}n}:& H \cap W &=& \left\{ v\in V/v\in H \wedge v\in W\right\}\\
{Uni\acute{o}n}:& H \cup W &=& \left\{ v\in V/v\in H \vee v\in W\right\}\\
{Suma}:& H+W &=& \left\{ v=h\oplus w \in V/ h\in H \wedge w\in W\right\}
\end{array}}
Teorema. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV. Entonces H∩WH \cap W y H+WH + W también son subespacios vectoriales de VV.

Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de VV no necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de VV, a menos que uno este contenido en el otro.

Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de VV es otro subespacio de VV.H={(x,y)∈R2/y=x}W={(x,y)∈R2/y=−x}\small{\begin{array}{rcl}
H &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=x\right\}\\
W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=-x\right\}
\end{array}}

Solución. (contraejemplo) H∪W={(x,y)∈R2/(x,y)∈H∨(x,y)∈W}\begin{array}{rcl} H\cup W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}}/(x,y) \in H \vee (x,y)\in W\right\} \end{array}

Si ∀ (x,y),(p,q)∈H∪W:(x,y)⊕(p,q)∈H∪W\forall\ (x,y),(p,q)\in H\cup W : (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que(x,y)∈H∪W⟹(x,y)∈H∨(x,y)∈W(p,q)∈H∪W⟹(p,q)∈H∨(p,q)∈W\begin{array}{rcl} (x,y)\in H\cup W &\Longrightarrow & (x,y)\in H \vee (x,y)\in W \\ (p,q)\in H\cup W &\Longrightarrow & (p,q)\in H \vee (p,q)\in W \end{array}de donde(x,y),(p,q)∈H⟹(x,y)⊕(p,q)∈H(x,y),(p,q)∈W⟹(x,y)⊕(p,q)∈W\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\in H &\Longrightarrow & (x,y)\oplus(p,q)\in H \\ (x,y),(p,q)\in W &\Longrightarrow &(x,y)\oplus(p,q)\in W \end{array} es decir, (x,y)⊕(p,q)∈H∪W\begin{array}{rcl} (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W \end{array}; sin embargo, si (1,1),(1,−1)∈H∪W(1,1),(1,-1)\in H\cup W entonces (1,1)⊕(1,−1)=(2,0)∉H∪W(1,1)\oplus(1,-1)=(2,0)\notin H\cup W.

Por consiguiente, H∪WH\cup W no es un subespacio vectorial de VV.

 

Teorema. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV. Entonces H∪WH \cup W es un subespacio vectorial de VV si y solo si H⊆WH\subseteq W o W⊆HW\subseteq H.
Teorema. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV donde H=gen{P}H=gen\left\{P\right\} y W=gen{Q}W=gen\left\{Q\right\}. Entonces H+W=gen{P∪Q}H+W=gen\left\{P\cup Q\right\}.
Teorema. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV de dimensión finita. Entoncesdim(H+W)=dim(H)+dim(W)−dim(H∩W)dim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\cap W)

 

Definición. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV. La suma H+WH+W se denomina suma directa de HH y WW, denotada como H⊕WH\oplus W, si cada vector en el espacio H+WH+W tiene una única representación como la suma de un vector en HH y un vector en WW.
Teorema. Sean HH y WW subespacios vectoriales de un espacio vectorial VV. Entonces H+W=H⊕WH+W=H\oplus W si y solo si H∩W={0V}H\cap W=\left\{0_V\right\}.

 

Ejemplo. Sean HH y WW subespacios de R3\mathbb{R^3} dado porH=gen{(−1,1,3)}W={(x,y,z)/2x−y+3z=0}\begin{array}{rcl}H&=&gen\left\{(-1,1,3)\right\} \\ W&=&\left\{(x,y,z)/2x-y+3z=0\right\}\end{array} Determine

a)a) El subespacio de la intersección entre HH y WW.
b)b) Muestre que H∪WH\cup W no es un subespacio de R3\mathbb{R^3}.
c)c) Que P={p∈R3/p=h+w ; h∈H y w∈W}P=\left\{p\in \mathbb{R^3} / p=h+w\ {;}\ h\in H\ y\ w\in W\right\} es R3\mathbb{R^3}.

Solución.

Literal a. Sean H={(−aa3a)/ ∀ a∈R}\scriptsize{H=\left\{ \left(\begin{array}{r}-a\\a\\3a \end{array}\right) {/}\ \forall\ a\in \mathbb{R} \right\}} y W={(x2x+3zz)/ ∀ x,z∈R}\scriptsize{W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) {/}\ \forall\ x,z\in \mathbb{R} \right\}} entoncesH∩W⟹(−aa3a)=(x2x+3zz)⟹a=x=z=0H\cap W \Longrightarrow \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) = \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) \Longrightarrow a=x=z=0Por consiguiente, H∩W={(000)}\scriptsize{H\cap W=\left\{ \left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right) \right\}}, neutro del espacio vectorial en R3\mathbb{R^3}.

Literal b. Si H∪WH\cup W es subespacio de R3\mathbb{R^3}, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decirH∪W=(−aa3a)⊕(x2x+3zz)H\cup W = \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) de dondeH∪W={(x−aa+2x+3z3a+z)/ x,z,a∈R}H\cup W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x-a\\a+2x+3z\\3a+z \end{array}\right) {/}\ x,z,a\in \mathbb{R} \right\}Entonces, ∀ h,w∈U : h⊕w∈U\forall\ h,w \in U\ :\ h\oplus w \in U. Si UU es H∪WH\cup W se tiene que el vector suma que pertenece a UU debe pertenecer a HH o WW, de donde(x1−a1a1+2x1+3z13a1+z1)⊕(x2−a2a2+2x2+3z23a2+z2)=((x1−a1)+(x2−a2)(a1+a2)+2(x1+x2)+3(z1+z2)3(a1+a2)+(z1+z2))\scriptsize{\left(\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\3a_1 + z_1\end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\3a_2 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \end{array}\right) }Nótese que el vector suma no pertenece ni a HH ni a WW.

Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial de R3\mathbb{R^3}.

Literal c. Si P=R3P=\mathbb{R^3} (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de R3\mathbb{R^3} pertenece PP; es decir, que todo vector de R3\mathbb{R^3} puede ser expresado en función de los vectores de PP.

Si p=h+wp=h+w, h=(−aa3a)h=\small{\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right)} y w=(x2x+3zz)w=\small{\left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)} entoncesh+w=(−aa3a)+(x2x+3zz)=(x−a2x+3z+az+3a)h+w=\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x-a\\2x+3z+a\\z+3a \end{array}\right)y, por lo tanto, cualquier vector de R3\mathbb{R^3} puede ser expresado como una combinación lineal, tal quex(120)+z(031)+a(−113),{(120),(031),(−113)}\small{x \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + a \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \quad {,} \quad \left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}}A continuación, se toma un vector típico de R3\mathbb{R^3} para verificar que puede (el vector típico) ser expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que α1(120)+α2(031)+α3(−113)=(ijk)\alpha_1 \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + \alpha_3 \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} i \\ j \\ k \end{array}\right)Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene queα1=9i+k−j9,α2=j−2k3,α3=k−j9\alpha_1=\frac{9i+k-j}{9} \quad{,}\quad \alpha_2=\frac{j-2k}{3} \quad{,}\quad \alpha_3=\frac{k-j}{9}Por consiguiente, cualquier vector de R3\mathbb{R^3} pertenece a PP y P=R3P=\mathbb{R^3}.

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Referencias Bibliográficas

Publicado por

Fernando Tenesaca

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