cl2-08. Matriz de Cambio de Base

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Definición. Sea $B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}$ un conjunto de vectores de un espacio vectorial $V$ y $v$ un vector de $V$. Si se expresa $v$ como combinación lineal de $B$, es decir$v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n,$entonces el vector $u=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n \right)$ representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$ donde el vector $u$ es un vector coordenado.

Notación. El vector coordenado $u$ que representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$ se denota por $\left[v\right]_B=u$.

Ejemplo. Sean $V=\mathbb{R^2}$ y $\scriptsize{B=\left\{\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \right\}}$. Si el vector $\scriptsize{v=\left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right)}$ y el vector $\scriptsize{u=\left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right)}$ entonces denote las coordenadas del vector $v$ respecto al conjunto $B$.

Solución. Sea $u$ el vector que representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$, tal que$\begin{array}{rcc} \left[v\right]_B & = & u \\ \left[v\right]_B & = & \left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right) \end{array}$Entonces, por definición, se expresa $v$ como combinación lineal de $B$, es decir$\begin{array}{ccl} v & = & \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\ v_1 + {3/2}\ v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right)+{3/2}\left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \end{array}$

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial con una base $B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}$. Entonces

$1)$ $\left[\delta v\right]_B=\delta \left[v\right]_B$.
$2)$ $\left[v+w\right]_B=\left[v\right]_B+\left[w\right]_B$.

 

Definición. Sea $A$ una matriz de $n\times n$ columnas, se denomina matriz de cambio de base o matriz de transición si las columnas representan los vectores coordenados de la base $B_1$ en función de la base $B_2$ o viceversa. De forma general se tiene$v_j=\alpha_{1j}v_1+\alpha_{2j}v_2+...+\alpha_{nj}v_n$es decir,$\left[v_j\right]_{B_2}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1j}\\\alpha_{2j}\\ \vdots \\\alpha_{nj} \end{array}\right)=u_j$de donde$A=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \\ \uparrow&\uparrow&\uparrow& &\uparrow \\ \left[v_1\right]_{B_2} & \left[v_2\right]_{B_2}& \left[v_3\right]_{B_2} &...&\left[v_n\right]_{B_2} \end{pmatrix}$

Notación. Sean $B_1=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}$ y $B_2=\left\{u_1,u_2,...,u_n\right\}$ bases de un espacio vectorial $V$, entonces la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ se denota$A_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}$siendo$\begin{array}{ccl} v_1&=&\alpha_{11}u_1+\alpha_{21}u_2+...+\alpha_{n1}u_n \\v_2&=&\alpha_{21}u_1+\alpha_{22}u_2+...+\alpha_{n2}u_n \\ \vdots &=& \vdots\\ v_n&=&\alpha_{n1}u_n+\alpha_{n2}u_n+...+\alpha_{nn}u_n\end{array}$

Observación. Por ningún motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originaría una nueva matriz de cambio de base. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base.

Teorema. Sean $B_1$ y $B_2$ bases para un espacio vectorial $V$. Sea $A$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Entonces para todo $v\in V$$\left[v\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[v\right]_{B_1}$

Teorema. Sea $A$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Entonces $A^{-1}$ es la matriz de cambio de base de $B_2$ a $B_1$, es decir$A_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}$

Ejemplo. Sean $B_1=\left\{u_1,u_2\right\}$ y $B_2=\left\{1+2x,2+x\right\}$ bases de $\wp_1$; y, sean $A=\scriptsize{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Determine:

$a)$ La matriz $A_{B_2B_1}$.
$b)$ La base $B_1$.

Solución.

Literal a. Para determinar $A_{B_2B_1}$ se deben expresar los vectores de la base $B_2$ como combinación lineal de los vectores de la base $B_1$; pero como se desconocen los vectores de la base $B_1$ entonces se puede determinar la matriz inversa de $A_{B_1B_2}$ que si es conocida y por teorema se determina que $A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}$.

Por consiguiente, $A_{B_2B_1}=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$.

Literal b. Al conocer la base $B_2$ y la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ por teorema se determina que $\left[u_1\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_1\right]_{B_1}$ es decir$\left[u_1\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$de donde$u_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7x$De la misma forma, por teorema se determina que $\left[u_2\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_2\right]_{B_1}$ es decir$\left[u_2\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$de donde$u_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3$Por consiguiente, la base $B_1=\left\{8+7x,3\right\}$.

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Referencias Bibliográficas