cl3-04. Matriz asociada a un transformación

---

Teorema. Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales de dimensión $n$ y $m$, respectivamente. Sean ${B}_{1}$ y ${B}_{2}$ sus respectivas bases. Sea $T{:}\ V\rightarrow W$ una transformación lineal; entonces existe una única matriz ${A}_{T}$ de $m\times n$ tal que: 

${{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}}$

La matriz ${A}_{T}$ se denomina matriz de transformación correspondiente a T o representación matricial de T, con respecto a las bases ${B}_{1}$ y ${B}_{2}$. Se suele representar también como ${{A}_{{{T}_{B1B2}}}}$ para indicar que tal matriz utiliza trabaja exclusivamente con coordenadas respecto a las bases ${B}_{1}$ y ${B}_{2}$ en los espacios de partida y de llegada.

---

Construcción de una matriz de transformación. Sean ${B}_{1}$ y ${B}_{2}$ dos bases respectivas de los espacios $V$ y $W$, tales que ${{B}_{1}}=\left\{ {{v}_{1}},{{v}_{2}},\cdots {{v}_{n}} \right\}$ y ${{B}_{2}}=\left\{ {{w}_{1}},{{w}_{2}},\cdots {{w}_{n}} \right\}$. 

Si $T{:}\ V\rightarrow W$ es una transformación lineal, entonces el procedimiento para calcular la matriz ${{A}_{{{T}_{B1B2}}}}$ es el siguiente:

1.- Calcular $T({v}_{i})$, para $i=1,2,...n$
2.- Determinar el vector de coordenadas de $T({v}_{i})$ respecto a la base B2, ${{[T({v}_{i})]}_{B2}}$.
3.- Construir la matriz ${{A}_{{{T}_{B1B2}}}}$ eligiendo a ${{[T({v}_{i})]}_{B2}}$ como la ${i}-$ésima columna de ${A}_{T}$.


${{A}_{{{T}_{B1B2}}}} = \left[ \begin{array}{rrrr} \uparrow  & \uparrow  & {} & \uparrow \\ {{[T({{v}_{1}})]}_{B2}} & {{[T({{v}_{2}})]}_{B2}} & \cdots  & {{[T({{v}_{n}})]}_{B2}} \\ \downarrow  & \downarrow  & {} & \downarrow \end{array} \right]$

---

Utilización de la matriz de transformación. 
Si ${{[v]}_{B1}}$ son las coordenadas de $v \in V$, entonces se puede calcular ${{[T(v)]}_{B2}}$ mediante la expresión:

${{[T(v)]}_{B2}}={{A}_{T}}.{{[v]}_{B1}}$, $\forall v\in V$.

---

Ejemplo 
Sea $B=\left\{ {{e}^{x}},{{e}^{-x}},x{{e}^{x}},{{x}^{2}}{{e}^{x}} \right\}$ una base de $V=gen(B)$, $T:V\to V$ una transformación lineal tal que $T(f)=f'(x)$, determine ${{A}_{{{T}_{B}}}}$.

Solución

1.- Transformar cada vector de la base del espacio de partida, B:

$T({{e}^{x}})={{e}^{x}}$
$T({{e}^{-x}})=-{{e}^{-x}}$
$T(x{{e}^{x}})={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}$
$T({{x}^{2}}{{e}^{x}})=2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}}$

2.- Determinar las coordenadas de tales transformadas, respecto a la base del espacio de llegada, en este caso la misma base B para el mismo espacio V:

${{\left[ T({{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ {{e}^{x}} \right]}_{B}}=(1,0,0,0)$
${{\left[ T({{e}^{-x}}) \right]}_{B}}={{\left[ -{{e}^{-x}} \right]}_{B}}=(0,-1,0,0)$
${{\left[ T(x{{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ {{e}^{x}}+x{{e}^{x}} \right]}_{B}}=(1,0,1,0)$
${{\left[ T({{x}^{2}}{{e}^{x}}) \right]}_{B}}={{\left[ 2x{{e}^{x}}+{{x}^{2}}{{e}^{x}} \right]}_{B}}=(0,0,2,1)$

3.- Construir la matriz con las coordenadas halladas:

${{A}_{{{T}_{B}}}}=\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$.

Ejemplo 
Utilice la matriz del ejemplo anterior para calcular $T({Cosh}(x))$

Solución

Aunque se puede calcular mediante la regla de correspondencia que $T({Cosh}(x))=Senh(x)$, se requiere en el ejercicio utilizar la matriz de transformación. La matriz de transformación opera entre coordenadas, así se necesita hallar ${{\left[ {Cosh}(x) \right]}_{B}}$:

Dado que ${Cosh}(x)=\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{-x}}}{2}$, entonces vector de coordenadas es ${{\left[ {Cosh}(x) \right]}_{B}}=(1/2,1/2,0,0)$

Luego, se tiene que ${{[T(v)]}_{B}}={{A}_{{{T}_{B}}}}{{[v]}_{B}}$, es decir:

${{[T({Cosh}(x))]}_{B}}=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\left( \begin{array}{r} 1/2 \\ 1/2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{r} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$

Lo que significa que:
$T({Cosh}(x))=\frac{1}{2}{{e}^{x}}-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}+0x{{e}^{x}}+0{{x}^{2}}{{e}^{x}}$
Es decir:
$T({Cosh}(x))=\frac{{{e}^{x}}-{{e}^{-x}}}{2}=Senh(x)$