cl5-02. Ilustración del método

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Ejemplo. Sea $T:{P}_{2}\to {P}_{2}$ una T.L. tal que $T(a+bx+c{{x}^{2}})=(a+b+5c)+(3b)x+(3a-c){{x}^{2}}$ Hallar sus eigenvalores y eigenvectores.

Solución:

Necesitamos utilizar una base para hallar una matriz de transformación. Puesto que no se nos indica alguna base en particular, se utilizará la base canónica $B=\{1,x,{{x}^{2}}\}$.

Transformando cada vector de la base:

$\begin{array}{rcl} T(1)&=&1+3{{x}^{2}} \\ T(x)&=&1+3x \\ T({{x}^{2}})&=&5-{{x}^{2}} \end{array}$

Y hallando las coordenadas de tales transformadas respecto a la base (la misma) del espacio de llegada, se tiene:

$\begin{array}{rcl} & {{\left[ T(1) \right]}_{B}}&=&(1,0,3) \\ & {{\left[ T(x) \right]}_{B}}&=&(1,3,0) \\ & {{\left[ T({{x}^{2}}) \right]}_{B}}&=&(5,0,-1) \end{array}$

Por lo cual, la matriz asociada a T es:

$A=\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \end{array} \right]$

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Ahora, hay que resolver la ecuación $\det (A-\lambda I)=0$, hallando el siguiente determinante:

$\det (A-\lambda I)=\det \left( \begin{array}{rrr} 1-\lambda & 1 & 5 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 3 & 0 & -1-\lambda \end{array} \right)$ $\begin{array}{rcl} \det (A-\lambda I)&=(3-\lambda )\left[ \left( 1-\lambda \right)\left( -1-\lambda \right)-15 \right] \\ & =(3-\lambda )\left[ {{\lambda }^{2}}-16 \right] \\ & =(3-\lambda )(\lambda -4)(\lambda +4)=0 \end{array}$

Cuyas soluciones son: $\lambda =3\vee \lambda =4\vee \lambda =-4$, es decir los valores propios. Por convención, los valores propios se ordenan de mayor a menor, por lo cual se tiene:

$\begin{array}{rcl} {{\lambda }_{1}}&=&4 \\ {{\lambda }_{2}}&=&3 \\ {{\lambda }_{3}}&=&-4 \end{array}$

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Luego, para encontrar los vectores propios debemos hallar bases para el núcleo $Nu(A-\lambda I)$ luego de reemplazar los valores propios.

Para ${{\lambda }_{1}}=4$:

$Nu(A-{{\lambda }_{1}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} 1-{{\lambda }_{1}} & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 3-{{\lambda }_{1}} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -1-{{\lambda }_{1}} & 0 \end{array} \right)$

Resolviendo:

$\left( \begin{array}{rrr|r} -3 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -5 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} -3 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

es decir, ${{\alpha }_{2}}=0$ y $-3{{\alpha }_{1}}+5{{\alpha }_{3}}=0$. Por lo cual:

$Nu(A-{{\lambda }_{1}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=0\text{ }\wedge \text{ }-3{{\alpha }_{1}}+5{{\alpha }_{3}}=0 \right\}$

Una base de este núcleo es:
${{B}_{\lambda 1}}=\left\{ \left( \begin{array}{r} 5/3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}$

Por lo cual, el primer vector característico es:

${{v}_{1}}=\left( \begin{array}{r} 5 \\ 0 \\ 3 \end{array} \right)$

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Para ${{\lambda }_{2}}=3$:

$Nu(A-{{\lambda }_{2}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} -2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & -4 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} -2 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Es decir,

$Nu(A-{{\lambda }_{2}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=-(7/3){{\alpha }_{3}}\text{ }\wedge \text{ }{{\alpha }_{1}}=(4/3){{\alpha }_{3}} \right\}$

Por lo cual, el respectivo vector característico es:

${{v}_{2}}=\left( \begin{array}{r} 4 \\ -7 \\ 3 \end{array} \right)$

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Para ${{\lambda }_{3}}=-4$:

$Nu(A-{{\lambda }_{3}}I)\Rightarrow \left( \begin{array}{rrr|r} 5 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 7 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 3 & 0 \end{array} \right)\sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Es decir,

$Nu(A-{{\lambda }_{3}}I)=\left\{ \left( {{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}} \right)\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{3}}/{{\alpha }_{2}}=0\text{ }\wedge \text{ }{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{3}}=0 \right\}$

Por lo cual, el respectivo vector característico es:

${{v}_{3}}=\left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$

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Finalmente, los vectores propios de la matriz de transformación son coordenadas respecto a la base B (canónica en este caso), de los vectores propios de la transformación, por lo cual los resultados quedan así:

Para ${{\lambda }_{1}}=4$, el eigenvector es: ${{v}_{1}}=5+3{{x}^{2}}$.
Para ${{\lambda }_{2}}=3$, el eigenvector es: ${{v}_{2}}=4-7x+3{{x}^{2}}$.
Para ${{\lambda }_{3}}=-4$, el eigenvector es: ${{v}_{3}}=-1+{{x}^{2}}$.

Se cumplirá en cada caso que:
$T({{v}_{1}})={{\lambda }_{1}}{{v}_{1}}$$T({{v}_{2}})={{\lambda }_{2}}{{v}_{2}}$$T({{v}_{3}})={{\lambda }_{3}}{{v}_{3}}$