Componente práctico
Año lectivo 2019-2020 | Término 1
Introducción
En diversas áreas como negocios, economía, ciencias biológicas, entre otras, aparecen problemas de determinar el máximo o mínimo de una función determinada. Estos problemas son más naturales de lo que podríamos previamente imaginar. ¿Qué es lo que hace un empresario para maximizar utilidades o minimizar costos? ¿A qué tasa de cambio será favorable el saldo de los pagos? ¿Como se puede satisfacer los requerimientos de alimentos de un animal con un míınimo de gasto de energía?
Usualmente los problemas de maximización y minimización están sujetos a menudo a restricciones en las variables. Por ejemplo, no es difícil notar que el hombre de negocios no tendrá una cantidad infinita de capital, es decir, siempre tendrá la limitación de una cantidad finita de capital; el supervisor de un almacén, tiene un espacio limitado para almacenamiento. Además, generalmente las restricciones guardan relación con la naturaleza o definición de las variables, por ejemplo, el gerente de una tienda no puede ordenar un número negativo de kilogramos de tomate.
A los problemas que se enfocan en optimizar una función cuyas variables se encuentran sometidas a restricciones con inecuaciones lineales se los denomina problemas de Programación Lineal.
Un problema de programación lineal posee una función objetivo con n variables (en este caso 2 variables), por ejemplof(x_1,x_2)=2x_1+x_2que satisfaga las inecuaciones x_1ge 0, , ,x_2 ge 0y además restricciones de inecuaciones lineales de las variables, por ejemplox_1+x_2leq 1
George Dantzig diseñó un método para resolver este tipo de problemas, el cual es conocido como Método Simplex.
Problema
Durante varios años en la ESPOL, Frutangas Don Germán ha vendido sus deliciosas frutangas, principalmente de tres sabores: frutilla, vainilla y durazno. El secreto de Don Germán es que él mismo prepara sus tres sabores de yogur. Con la llegada de los estudiantes del término 2019 y la alta demanda de sus productos, Don Germán se encontró con déficit de algunos de los ingredientes: leche, azúcar y crema. Así que Frutangas Don Germán no podía cumplir todos los pedidos de sus muy apreciados clientes. Después de largas caminatas pensativas por el lago de la escuela, Don Germán decidió producir las cantidades óptimas de cada uno de los sabores según las restricciones impuestas por la disponibilidad de los ingredientes básicos.
Para esto, consiguió la siguiente información sobre las utilidades provenientes de los distintos sabores de yogur, la disponibilidad de los ingredientes, y las cantidades requeridas por cada uno de los productos de distintos sabores.
Frutangas Don Germán ha contratado a un grupo de trabajo para llevar adelante el proyecto de determinar la cantidad óptima de cada uno de los sabores que debe producir, de acuerdo a las condiciones de su negocio. Para cumplir con el proyecto, el grupo debe emitir un reporte que responda las siguientes preguntas:
| blacktriangleright | ¿Qué recursos adicionales se deben usar? |
| blacktriangleright | ¿Cuál es la cantidad óptima que debe producir de cada uno de los sabores? |
Entregables
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de solución a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducción, fundamento teórico, propuesta de solución, conclusiones y recomendaciones. La sección propuesta de solución debe presentar:
| blacktriangleright | Planteamiento matricial del problema. |
| blacktriangleright | Planteamiento de las inecuaciones (restricciones). |
| blacktriangleright | Aplicación del método simplex. |
| blacktriangleright | Resultados numéricos. |
| blacktriangleright | Interpretación de resultados. |
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicación para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; así como, detallar su utilización en el reporte.
Introducción
Los procesos que evolucionan en el tiempo se denominan sistemas dinámicos, es decir, que a medida que el tiempo avanza, estos fenómenos están cambiando su estado. Si se considera que el tiempo tome valores enteros no negativos (t=0,1,2,3,...) se dice que el tiempo es discreto. Los sistemas dinámicos que cambian con respecto a un tiempo discreto se denominan sistemas dinámicos discretos.
Los sistemas dinámicos discretos pueden estar descritos matemáticamente por medio de ecuaciones en diferencias. Una ecuación en diferencias es una ecuación en la cual el valor de una variable depende de valores de la variable en un tiempo anterior; por ejemploy_t=2y_{t-1}
De esta manera, en la ecuación anterior el valor de y_1=2y_0, el valor de y_2=2y_1, y así sucesivamente. Esta ecuación es una ecuación en diferencia. Nótese que el valor de los siguientes estados de la variable depende del valor inicial y_0, el cual usualmente es un dato conocido.
Ciertos fenómenos son representados por varias ecuaciones en diferencias; por ejemplo, considere que la posición de una partícula en el plano cartesiano está dada por las ecuaciones en diferenciabegin{aligned}x_1&=2x_{t-1}+y_{t-1}\y_t&=3x_{t-1}+4y_{t-1} end{aligned}donde la variable t está en minutos; además, se conoce que la posición inicial es x_0 =1, y_0 =1.
El sistema de ecuaciones en diferencia puede ser escrito de forma matricial comobegin{pmatrix} begin{array}{c} x_t\y_t end{array} end{pmatrix} = begin{pmatrix} begin{array}{cc} 2&1\3&4 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{t-1}\y_{t-1} end{array} end{pmatrix}es decirv_t=Av_{t-1}donde v_t=begin{pmatrix} begin{array}{c} x_t\y_t end{array} end{pmatrix}. Al observar con detenimiento esta ecuación matricial se tiene quebegin{aligned} v_1&=Av_0\v_2&=Av_2=A(v_1)=A^2 v_0\v_3&=Av_2=A(A^2 v_0)=A^3 v_0 end{aligned}se puede probar por inducción que v_t=A^t v_0 ; por tanto, el problema de determinar la posición de la partícula en el cualquier instante t se resume en calcular la t-ésima potencia de la matriz A; para el efecto, se puede utilizar diagonalización de matrices, puesto que si A es diagonalizable se tiene lo siguienteD=C^{-1}ACdonde D es una matriz diagonal semejante a A; y C una matriz invertible que diagonaliza a A. Si A es semejante a una matriz diagonal, entonces su t-ésima potencia esA^t=CD^tC^{-1}.
Se tiene conocimiento, por Álgebra Lineal, que la matriz diagonal D está compuesta por los valores propios de la matriz A y que la matriz C está compuesta por los vectores propios de la matriz A.
Siguiendo con el ejemplo, los valores propios y las bases de los espacios propios asociados a cada valor propio sonbegin{array}{lcl}lambda_1=1 & & B_{E_{lambda_1}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r}1\-1 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} \ \ lambda_2=5 & & B_{E_{lambda_2}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r}1\3 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} end{array}
las matrices D y C sonD=begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1&0\0&5 end{array} end{pmatrix} qquad C=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\-1&3 end{array} end{pmatrix} y la matriz inversa de CC^{-1}=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} & - frac{1}{4}\ \ frac{1}{4} & frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}por tantobegin{aligned} A^t&=CD^tC^{-1} \ A^t&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\-1&3 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{ll} 1^t&0\0&5^t end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} & - frac{1}{4}\ \ frac{1}{4} & frac{1}{4} end{array} end{pmatrix} \ A^t&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} + frac{1}{4} 5^t & - frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^t\ \ -frac{3}{4}+frac{3}{4} 5^t & frac{1}{4}+frac{3}{4} 5^t end{array} end{pmatrix} end{aligned}Para determinar la posición de la partícula al tiempo t=10 (minutos) se debe realizar el siguiente productobegin{aligned} v_10&=A^{10} v_0 \ begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\y_{10} end{array} end{pmatrix}&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4} + frac{1}{4} 5^{10} & - frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^{10}\ \ -frac{3}{4}+frac{3}{4} 5^{10} & frac{1}{4}+frac{3}{4} 5^{10} end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{c} 1\1 end{array} end{pmatrix} \ begin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\y_{10} end{array} end{pmatrix}&=begin{pmatrix} begin{array}{r} frac{1}{2}+frac{1}{2} 5^{10} \ \ - frac{1}{2}+frac{3}{2} 5^{10} end{array} end{pmatrix} end{aligned}Por consiguiente, la posición de la partícula después de diez minutos esbegin{pmatrix} begin{array}{c} x_{10}\y_{10} end{array} end{pmatrix}=begin{pmatrix} begin{array}{c} 4882813\4882812 end{array} end{pmatrix}unidades de distancia.
Problema
En un universo perfecto, las bibliotecas de ESPOL pertenecen a un sistema integrado Archivos Gigantes (abreviado AG) de préstamos y devolución de libros. El sistema AG, al ser integrado, permite a los estudiantes pedir un libro y devolverlo en cualquiera de las bibliotecas que se encuentran en el campus Gustavo Galindo. Con fines administrativos, cada biblioteca tiene un código que la identifica y asocia con su respectiva unidad académica.
| blacktriangleright | Biblioteca Central (C). |
| blacktriangleright | Biblioteca FCNM (N). |
| blacktriangleright | Biblioteca FIEC (F). |
| blacktriangleright | Biblioteca FCSH (S). |
| blacktriangleright | Biblioteca FIMCBOR (B). |
| blacktriangleright | Biblioteca FICT (T). |
| blacktriangleright | Biblioteca FIMCP (M). |
Al inicio del semestre, cada biblioteca cuenta con un inventario inicial de libros. A medida que los días avanzan, los estudiantes piden un libro en la biblioteca X y lo devuelven en la biblioteca Y; este proceso deriva que al inicio del siguiente día las bibliotecas almacenen libros provenientes de bibliotecas de otras unidades académicas.
Cada vez que alguna bibliotecaria recibe un libro, lo registra por el sensor y el sistema notifica inmediatamente su procedencia (del día anterior). En la biblioteca Central, la bibliotecaria identifica que cada día una fracción de la cantidad de libros del inventario local salen; y recibe, del día anterior, una fracción de la cantidad de libros del inventario de las otras bibliotecas; es decir, al cabo det días, el inventario de la biblioteca Central es
C_t=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{5}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1}
La ecuación previa indica que la biblioteca Central, en el día t, mantiene solo frac{3}{16} del inventario disponible el día anterior; recibe además, frac{1}{4} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FCNM; frac{1}{16} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FIEC; frac{5}{16} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FCSH; frac{1}{4} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FIMCBOR; frac{1}{8} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FICT; y frac{1}{16} del inventario del día anterior proveniente de la biblioteca FIMCP.
Al recolectar los datos de todas las bibliotecas se obtuvieron las siguientes ecuaciones en diferencia:
begin{aligned}C_t&=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{5}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1}\ N_t&=frac{1}{16}C_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{1}{4}B_{t-1}+frac{1}{16}T_{t-1}+frac{1}{16}M_{t-1} \ E_t&=frac{1}{8}C_{t-1}+frac{1}{8}N_{t-1}+frac{1}{4}E_{t-1}+frac{1}{8}S_{t-1}+frac{1}{8}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{4}M_{t-1}\ S_t&=frac{3}{16}C_{t-1}+frac{3}{16}N_{t-1}+frac{3}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{3}{16}B_{t-1}+frac{3}{16}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1}\B_t&=frac{1}{8}C_{t-1}+frac{1}{8}N_{t-1}+frac{1}{8}E_{t-1}+frac{1}{8}S_{t-1}+frac{1}{8}B_{t-1}+frac{1}{8}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1}\T_t&=frac{1}{4}C_{t-1}+frac{1}{4}N_{t-1}+frac{1}{4}E_{t-1}+frac{1}{4}S_{t-1}+frac{5}{16}T_{t-1}+frac{1}{4}M_{t-1}\M_t&=frac{1}{16}C_{t-1}+frac{1}{16}N_{t-1}+frac{1}{16}E_{t-1}+frac{1}{16}S_{t-1}+frac{1}{16}B_{t-1}+frac{1}{16}T_{t-1}+frac{1}{8}M_{t-1} end{aligned}
Al empezar el semestre las bibliotecas reportaron que tenían la cantidad mostrada a continuación
En la ESPOL, el proceso asociado con la primera evaluación consta de siete semanas, más una de exámenes; y la segunda evaluación comprende ocho semanas, más una de exámenes. El único día en que las bibliotecas no prestan ni se reciben libros, porque permanecen cerradas, es el domingo. Por motivo de inventario, se ha seleccionado a un grupo de trabajo para que desarrolle un proyecto que permita estimar la cantidad de libros al final de la primera evaluación y segunda evaluación en cada biblioteca.
Entregables
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de solución a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducción, fundamento teórico, propuesta de solución, conclusiones y recomendaciones. La sección propuesta de solución debe presentar:
| blacktriangleright | El planteamiento matricial del problema. |
| blacktriangleright | El polinomio característico de la matriz. |
| blacktriangleright | Los valores propios de la matriz. |
| blacktriangleright | Las bases de vectores propios asociados con cada valor propio de la matriz. |
| blacktriangleright | La matriz D diagonal y la matriz C que diagonaliza A. |
| blacktriangleright | La matriz A elevada a la t-ésima potencia. |
| blacktriangleright | Los valores de la cantidad de libros en cada biblioteca al final de la primera evaluación. |
| blacktriangleright | Los valores de la cantidad de libros en cada biblioteca al final de la segunda evaluación. |
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicación para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; así como, detallar su utilización en el reporte.
Introducción
La Criptografía es la ciencia de escribir o descifrar claves. A pesar de que este conocimiento se asocia frecuentemente con la milicia, la Criptografía es un tema de aplicación fundamental en los negocios en la era digital. Las grandes empresas que procesan ingentes cantidades de datos deben protegerse constantemente contra delitos informáticos, principalmente del espionaje industrial, que deriva en el robo de información estratégica para el giro del negocio por parte de la competencia.
Actualmente se implementan técnicas, extremadamente complejas, que garantizan la transmisión de grandes cantidades de información de forma confidencial. A esto se llegó después de décadas de investigación matemática y desarrollo computacional a nivel de hardware y software.
Un criptograma común se describe comoKIquad ZPIICquad VPJLPquad PIquad PUPJKVGy se puede descifrar utilizando la tabla decodificadora
begin{array}{cc}A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\P&M&V&Q&K&S&Z&O&T&B&W&I&U&J&C&X&E&G&Y&L&D&R&H&A&F&N end{array}
Nótese que P está en lugar de A, que M sustituye a B, que V reemplaza a B, y así sucesivamente; por tanto, decodificando el criptograma se obtiene el mensaje siguienteELquad GALLOquad CANTAquad ALquad AMANECER
A continuación, se pueden usar matrices para crear una clave más difícil de descifrar. Se empieza asignando a cada letra su ubicación en el alfabeto ordenado.
begin{array}{cc}A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M&N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\ 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&25&25&26 end{array}
Considere el siguiente mensaje a codificarLASquad MATRICESquad SONquad AMIGABLESAl descomponer el mensaje en unidades de longitud dos se obtiene
begin{array}{c}LA&SM&AT&RI&CE&SS&ON&AM&IG&AB&LE&SX end{array}
La X al final simplemente llena el espacio. Al utilizar el código numérico definido previamente, se puede representar el mensaje como el conjunto de vectores de dos componentes.
begin{pmatrix} 12 \ 1 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 19 \ 13 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \ 20 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 18 \ 9 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 3 \ 5 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 19 \ 19 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 15 \ 14 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \ 13 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 9 \ 7 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 12 \ 5 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 19 \ 24 end{pmatrix}
Se escoge una matriz A de orden 2, invertible, con coeficientes enteros y determinante pm 1; ésto asegura que A^{-1} tenga coeficientes enteros. Una matriz que cumple con estas condiciones esA=begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1&3\1&4 end{array} end{pmatrix}Para continuar, se multiplica cada uno de los vectores de dos componentes, a la izquierda, por A. Por ejemplobegin{pmatrix} 12\1 end{pmatrix}Longrightarrow begin{pmatrix} 1&3\1&4 end{pmatrix}begin{pmatrix} 12\1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 15\16 end{pmatrix}De tal forma se obtiene el nuevo conjunto de vectores
begin{pmatrix} 15 \ 16 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 58 \ 71 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 61 \ 81 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 45 \ 54 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 18 \ 23 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 76 \ 95 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 57 \ 71 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 40 \ 53 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 30 \ 37 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 7 \ 9 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 27 \ 32 end{pmatrix} quad begin{pmatrix} 91 \ 115 end{pmatrix}
Por tanto, se reescribe el conjunto de vectores previo de la siguiente forma
15enspace 16enspace 58enspace 71enspace 61enspace 81enspace 45enspace 54enspace 18enspace 23enspace 76enspace 95enspace 57enspace 71enspace 40enspace 53enspace 30enspace 37enspace 7enspace 9enspace 27enspace 32enspace 91enspace 115
Nótese que el nuevo mensaje codificado será complejo de descifrar si se desconoce la matriz A. Conociendo la matriz A, el proceso para decodificar es relativamente sencillo y se empieza por reescribir el mensaje codificado en vectores de dos componentes. Por ejemplobegin{pmatrix} 15 \ 16 end{pmatrix}=Abegin{pmatrix} 12 \ 1 end{pmatrix}iff begin{pmatrix} 12 \ 1 end{pmatrix}=A^{-1}begin{pmatrix} 15 \ 16 end{pmatrix}Para comprobar el resultado previo, se observa que
A^{-1}=begin{pmatrix}begin{array}{rr} 4&-3 \ -1&1 end{array}end{pmatrix}Longrightarrow A^{-1}begin{pmatrix}15 \ 16 end{pmatrix}=begin{pmatrix}begin{array}{rr} 4&-3 \ -1&1 end{array}end{pmatrix}begin{pmatrix} 15 \ 16 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 12 \ 1 end{pmatrix}=begin{pmatrix} L \ A end{pmatrix}
Al multiplicar cada uno de los vectores de dos componentes codificados por A^{-1} se obtienen los vectores decodificados, los mismos que se pueden convertir por medio del alfabeto ordenado en el mensaje original. En este contexto, la matriz A se denomina matriz codificadora y la matriz A^{-1} recibe el nombre de matriz decodificadora.
Problema
| a. | Codifique el siguiente mensajesmall{MOZARTquad CONQUISTA quad A quad TODOS}utilizando la matriz de codificaciónA=begin{pmatrix} begin{array}{rrr} 1&-1&0\4&-2&3\2&1&5 end{array} end{pmatrix}y con el uso de esa matriz, descifre el siguiente mensaje
8quad 63quad 66quad 2quad 106quad 161quad -2quad 1quad 10quad -6quad 19quad 53quad -6quad 96quad 180 |
| b. | Utilizando una matriz de orden siete con coeficientes enteros distintos de cero en al menos un setenta y cinco por ciento del total. Codifique y muestre que es posible decodificar el siguiente texto:
Euclides se encontraba impartiendo una clase en Alejandría cuando uno de sus alumnos le preguntó que para qué servían todas aquellas demostraciones tan extensas y complejas que explicaba el matemático. Pausadamente, Euclides, se dirigió a otro de los estudiantes presentes y le dijo: Dale una moneda y que se marche. Lo que éste busca no es el saber, es otra cosa. |
Entregables
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de solución a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducción, fundamento teórico, propuesta de solución, conclusiones y recomendaciones. La sección propuesta de solución debe presentar:
| blacktriangleright | El planteamiento matricial del problema. |
| blacktriangleright | La resolución del problema. |
| blacktriangleright | Los resultados numéricos. |
| blacktriangleright | La interpretación de los resultados. |
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicación para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; así como, detallar su utilización en el reporte.
Introducción
Una curva cuadrática en x es una ecuación de la forma y=a+bx+cx^2; esta ecuación representa una parábola en el plano. Si los n puntos a evaluar están en la parábola se tiene\left\{\begin{array}{c} \begin{aligned}y_1&=a+bx_1+cx_1^2\\ y_2&=a+bx_2+cx_2^2\\ y_3&=a+bx_3+cx_3^2\\ \vdots\\ y_n&=a+bx_n+cx_n^2\end{aligned}\end{array}\right.El sistema en forma matricial se sintetiza a través de la expresión y=Au dondey=\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}, \qquad A=\begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\1 & x_2 & x_2^2\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 \end{pmatrix}, \qquad u=\begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix}Sin embargo, en un experimento las observaciones siempre presentan errores de medición, ya sea por la naturaleza del instrumento de medición, por las características del entorno al experimento, o por el nivel de experiencia del individuo que ejecuta la medición; lo que provoca que los puntos no necesariamente cumplan la igualdad del sistema, es decir, y-Au {\neq} 0. El problema se resume en determinar un vector u tal que la norma \lVert y-Au \rVert sea mínima.
Problema
| a. | Los estudiantes de la ESPOL en épocas de vacas flacas no pueden almorzar por diversas razones. El campus cuenta con una gran cantidad de árboles de mango. En un intento de mejorar la precisión de la técnica de tumbar mangos lanzando un objeto, los estudiantes piensan en construir un robot−tumba−mangos y para esto necesitan datos para programar el robot.
Estos brillantes politécnicos toman datos de la mejor trayectoria después de lanzar varias veces una pelota de tenis hacia una altura en la que supuestamente estaría el mango objetivo. Los estudiantes, que ya habían aprobado Física I, conocen que la altura de la pelota en función del tiempo está dada por h(t)=h_0+v_0 t+frac{1}{2} gt^2. Se hicieron las siguientes mediciones:
Con esto datos estimar:
|
||||||
| b. | El FabLab ubicado en la ESPOL, llamado Asiri Labs, compra grandes cantidades de ciertas refacciones para máquinas con el objeto de minimizar sus costos de operación. Debido a la experiencia de los estudiantes politécnicos, encargados del área, encuentran que su costo depende del número de cajas de refacciones que compren una vez y que el costo por unidad disminuye al aumentar el número de unidades compradas. Si se supone que el costo es una función cuadrática del volumen, y por experiencia se obtienen los siguientes datos:
 Determine la función de costo total. |
Entregables
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de solución a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducción, fundamento teórico, propuesta de solución, conclusiones y recomendaciones. La sección propuesta de solución debe presentar:
| blacktriangleright | El planteamiento matricial del problema. |
| blacktriangleright | La resolución del problema. |
| blacktriangleright | Los resultados numéricos. |
| blacktriangleright | La interpretación de los resultados. |
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicación para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; así como, detallar su utilización en el reporte.
Introducción
En matemáticas, un grafo es un conjunto de elementos llamados vértices o nodos, conectados por medio de enlaces denominados aristas o arcos. Un grafo, desde un punto de vista simple, permite representar una operación binaria interna de un conjunto. Uno de los problemas más representativos de la teoría de grafos es el ejemplo histórico denominado el problema de los puentes de Königsberg, problema que fue resuelto por Leonhard Euler. Con un poco más de rigurosidad, se dice que un grafo G es un par ordenado G=(V,E), donde:
| blacktriangleright | V es un conjunto de vértices o nodos, y |
| blacktriangleright | E es un conjunto de aristas o arcos, que relacionan estos nodos. |
Sea V un conjunto finito. El grafo de denomina grafo dirigido o digrafo si los arcos poseen una dirección. En la siguiente figura se muestra un grafo dirigido cuyos vértices, conectados entre sí, se denotan con las letras X, Y y Z.
 |
| Grafo con nodos X, Y y Z |
Para un grafo se define su matriz de adyacencia como una representación de la conexión de sus vértices. Para construir una matriz de adyacencia se debe:
| blacktriangleright | Crear una matriz con coeficientes todos cero; cuyas columnas y filas representan los nodos del grafo. |
| blacktriangleright | Colocar un 1 como valor actual en la ubicación correspondiente de la matriz, por cada arista que une dos nodos. |
Para el grafo previo, la matriz de adyacencia esbegin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\X&0&1&1\Y&0&0&1\Z&1&1&0 end{array} end{pmatrix}La primera fila indica que el nodo X se conecta con el nodo Y, y con el nodo Z.La segunda fila indica que el nodo Y se conecta sólo con el nodo Z. La tercera fila indica que el nodo Z se conecta con el nodo X, y con el nodo Y.
En un grafo se define una k-trayectoria como el camino para ir de un vértice X a un vértice Y atravesando k enlaces. Nótese que en el grafo existe una 1-trayectoria de X a Y; una 1-trayectoria de X a Z; una 1-trayectoria de Z a Y; entre otras.
Además de las 1-trayectoria, existen también las 2-trayectoria, es decir, caminos de un vértice a otro vértice atravesando exactamente 2 enlaces. Por ejemplo, para ir de X a Y existe una 2-trayectoria porque se puede ir por el camino de X a Z y de Z a Y atravesando exactamente 2 enlaces.
Teorema 1. Si A es la matriz de adyacencia de una gráfica simple, la entrada ij-ésima de A^k es igual al número de k-trayectoria del vértice i al vértice j, para todo kinmathbb{N}.
Del teorema se establece que la entrada ij-ésima de la matriz A proporciona el número de 1-trayectoria que existe del vértice i al vértice j. Sea A la matriz de adyacencia, tal quebegin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\X&0&1&1\Y&0&0&1\Z&1&1&0 end{array} end{pmatrix}se observa que existe una 1-trayectoria de Y a Z.
También asegura que en la matriz A^2 la entrada ij-ésima proporciona el número de 2-trayectoria que existe del vértice i al vértice j.
Sea A^2=Atimes AA^2=begin{pmatrix} 0&1&1\0&0&1\1&1&0 end{pmatrix}begin{pmatrix} 0&1&1\0&0&1\1&1&0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} 1&1&1\1&1&0\0&1&2 end{pmatrix}se puede observar que la entrada a_{11} es igual a 1, lo que implica que existe exactamente una 2-trayectoria que va de X hacia X, lo que se evidencia en el grafo con la ruta X-Z-X. Adicionalmente, la entrada a_{33} tiene un valor de 2, lo que indica que existe exactamente dos 2-trayectoria que van de Z a Z que son Z-X-Z y Z-Y-Z. Finalmente se nota que no hay 2-trayectoria de Y a Z puesto que la entrada a_{23} es igual a cero.begin{pmatrix} begin{array}{cccc}&X&Y&Z\X&colorbox{snow}{textcolor{blue}{1}}&1&1\Y&1&1&colorbox{snow}{textcolor{gold}{0}}\Z&0&1&colorbox{snow}{textcolor{red}{2}} end{array} end{pmatrix}
Por consiguiente, determinar k-trayectoria dentro de un grafo se resume en calcular la k-ésima potencia de la matriz A utilizando la diagonalizaciòn de matrices. Si A es diagonalizable, entonces D=C^{-1}AC; donde D es una matriz diagonal semejante a A y C una matriz invertible que diagonaliza a A. Si A es semejante a una matriz diagonal, entonces su k-ésima potencia es CD^{-1}C^{-1}=A^k.
Por Álgebra Lineal se sabe que la matriz diagonal D se compone de los valores propios de A y la matriz C de los vectores propios linealmente independientes de la matriz A.
¿Cómo elevar una matriz a la k-ésima potencia?
Para ilustrar el proceso, considere la matrizA=begin{pmatrix} 2&1\3&4 end{pmatrix}Se determinan los valores propios y las bases de los espacios propios asociados a cada uno de los valores propios.begin{aligned} lambda_1&=1qquad B_{E_{lambda_1}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r} 1\-1 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix}\ lambda_2&=5qquad B_{E_{lambda_2}}=begin{Bmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{r} 1\3 end{array} end{pmatrix} end{Bmatrix} end{aligned}A continuación se denotan la matriz diagonal D y la matriz invertible CD=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&0\0&5 end{array} end{pmatrix}qquad C=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\-1&3 end{array} end{pmatrix}A partir de C se determina su inversaC^{-1}=begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}&-frac{1}{4}\ frac{1}{4}&-frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}Finalmente se tienebegin{aligned} A^k&=CD^kC^{-1}\&=begin{pmatrix} begin{array}{rr} 1&1\-1&3 end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{cc} 1^k&0\0&5^k end{array} end{pmatrix} begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}&-frac{1}{4}\ frac{1}{4}&-frac{1}{4} end{array} end{pmatrix}\&= begin{pmatrix} begin{array}{rr} frac{3}{4}+frac{1}{4} 5^k &-frac{1}{4}+frac{1}{4} 5^k\ -frac{3}{4} + frac{3}{4} 5^k &frac{1}{4} +frac{3}{4} 5^k end{array} end{pmatrix}end{aligned}
Problema
Guayaquil ha iniciado un nuevo proceso de regeneración urbana y ciertas avenidas han sido modificadas con el tiempo. En un mapa vial de la ciudad se puede observar que las principales zonas están conectadas por vías modernas que ofrecen un acceso directo entre las mismas.
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| Vías directas entre las principales zonas de Guayaquil |
Las zonas que muestra el mapa son:
| blacktriangleright | Las Peñas (P). |
| blacktriangleright | Terminal Terrestre (T). |
| blacktriangleright | Parque Centenario (C). |
| blacktriangleright | Estadio Capwell (E). |
| blacktriangleright | Estadio Monumental (B). |
| blacktriangleright | C.C. San Marino (M). |
| blacktriangleright | Parque Samanes (S). |
La alcaldesa de la ciudad, Cynthia Viteri, requiere disponer de información que considera importante sobre estas modernas vías. Entre los principales requisitos, se requiere conocer:
| blacktriangleright | ¿Cuantas rutas existen entre dos zonas principales cualesquiera de las mencionadas, atravesando exactamente por 23 vías directas? |
| blacktriangleright | ¿Cuantas rutas existen entre dos zonas principales cualesquiera de las mencionadas, atravesando exactamente por 50 vías directas? |
La alcaldesa, imperiosa de conocer esta información, contrata a la empresa denominada Autopistas Guayaquil (AG). La empresa AG ofrece servicios de análisis de información sobre diferentes aspectos en movilidad urbana.
Entregables
Se necesita que el grupo de trabajo elabore un reporte con la propuesta de solución a este problema. El reporte es un documento con las siguientes secciones: introducción, fundamento teórico, propuesta de solución, conclusiones y recomendaciones. La sección propuesta de solución debe presentar:
| blacktriangleright | El planteamiento matricial del problema. |
| blacktriangleright | El polinomio característico de la matriz. |
| blacktriangleright | Los valores propios de la matriz. |
| blacktriangleright | Las bases de los espacios propios asociados a cada uno de los valores propios de la matriz. |
| blacktriangleright | La matriz D diagonal y la matriz C que diagonaliza a A. |
| blacktriangleright | La matriz A elevada a la k-ésima potencia. |
| blacktriangleright | La tabla de la cantidad de 23-trayectoria entre una zona y otra. |
| blacktriangleright | La tabla de la cantidad de 50-trayectoria entre una zona y otra. |
El documento debe estar escrito de forma secuencial y con sentido completo. el grupo puede (y probablemente debe) utilizar programas de aplicación para resolver este problema, los mismos que deben ser descritos; así como, detallar su utilización en el reporte.