Ejercicio: 1Eva_IIT2017_T1 Aproximar a polinomio usando puntos
Se dispone de tres puntos para la gráfica.
x | f(x) |
0 | 1 |
0.2 | 1.6 |
0.4 | 2.0 |
Si el polinomio de Taylor fuera de grado 0, sería una constante, que si se evalúa en x0 = 0 para eliminar los otros términos, se encuentra que sería igual a 1
Como se pide el polinomio de grado 2, se tiene la forma:
p(x) = a + bx + c x ^2 p(x) = 1 + bx + c x^2Se disponen de dos puntos adicionales que se pueden usar para determinar b y c:
p(0.2) = 1 + 0.2 b + (0.2)^2 c = 1.6 p(0.4) = 1 + 0.4 b + (0.4)^2 c = 2.0simplificando:
0.2 b + (0.2)^2 c = 1.6 - 1 = 0.6 0.4 b + (0.4)^2 c = 2.0 - 1 = 1multiplicando la primera ecuación por 2 y restando la segunda ecuación:
0 - 0.08 c = 1.2-1 = 0.2 c = - 0.2/0.08 = -2.5sustituyendo el valor de c
obtenido en la primera ecuación
con lo que el polinomio queda:
p(x) = 1 + 3.5 x - 2.5 x^2
validando con python:
tomando los puntos de prueba:
xi = [ 0, 0.2, 0.4] fi = [ 1, 1.6, 2 ] >>>
se obtiene la gráfica:
se adjunta las instrucciones usadas para validar que el polinomio pase por los puntos requeridos.
# 1Eva_IIT2017_T1 Aproximar a polinomio usando puntos import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # INGRESO xi = [ 0, 0.2, 0.4] fi = [ 1, 1.6, 2 ] px = lambda x: 1 + 3.5*x - 2.5*(x**2) a = -0.5 b = 1 muestras = 21 # PROCEDIMIENTO xj = np.linspace(a,b,muestras) pxj = px(xj) # SALIDA print(xj) print(pxj) # Gráfica plt.plot(xj,pxj,label='p(x)') plt.plot(xi,fi,'o', label='datos') plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.grid() plt.legend() plt.show()
Nota: Se puede intentar realizar los polinomios aumentando el grado, sin embargo cada término agrega un componente adicional a los términos anteriores por la forma (x – x0)k
literal b
se requiere el integral aproximado de f(x) en el intervalo limitado por los 3 puntos de la tabla:
\int_{0}^{0.4}f(x) dxEsta aproximación con un polinomio es el concepto de integración numérica con la regla de Simpson de 1/3, tema desarrollado en la unidad 5
I_{S13} = \frac{0.2}{3} \Big(1+4(1.6)+ 2 \Big) = 0.62666