[ Secante ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [ función ]
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1. Ejercicio
Referencia: Burden 2.1 ejemplo 1 p38
La ecuación mostrada tiene una raíz en el intervalo [1,2], ya que f(1) = -5 y f(2) = 14
Muestre los resultados parciales del algoritmo de la secante con una tolerancia de 0.0001
[ Secante ] [ Ejercicio ] [ Analítico ] [ Algoritmo ] [función]
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2. Desarrollo Analítico
siendo:
f(x) = x^3 + 4x^2 -10 =0 x_{i+1}= x_i - f(x_i)\frac{(x_{i-1} - x_i)}{f(x_{i-1}) - f(x_i)}Se probará con valores iniciales que tienen el mismo signo f(x[i-1]), f(x[i]), que no se considera en el método cerrado de la posición falsa
itera = 0
X-1 = a =2.5, X0 =b=4, tolera = 0.001
f(2.5) = (2.5)^3 + 4(2.5)^2 -10 = 30.625 f(4) = (4)^3 + 4(4)^2 -10 =118 x_{1}= 4 - 118\frac{(2.5 - 4)}{(30.625 - 118)} = 1.9742 errado = |1.9742 - 4| = 2.02575itera = 1
X0 = 4, X1 = 1.9742
f(4) =118 f(1.9742) = ( 1.9742)^3 + 4( 1.9742)^2 -10 =13.2855 x_{2}= 1.9742 - (13.2855)\frac{(4 - 1.9742)}{(118 -13.2855)} =1.7172 errado = |1.7172 - 1.9742| = 0.2570itera = 2
X1 =1.9742, X2 =1.7172
f(1.9742) = 13.2855 f(1.7172) = (1.7172)^3 + 4(1.7172)^2 -10 =6.8594 x_{3}= 1.7172 - (6.8594)\frac{(1.9742 - 1.7172)}{(6.8594 -13.2855)} = 1.4428 errado = | 1.4428- 1.7172| =0.2743desarrollando una tabla con el algoritmo se tiene:
método de la Secante i [ x[i-1], xi, x[i+1], f[i-1], fi ] tramo 0 [ 2.5 4. 1.974249 30.625 118. ] 2.0257510729613735 1 [ 4. 1.974249 1.717233 118. 13.285584] 0.2570160557153698 2 [1.974249 1.717233 1.442883 13.285584 6.859484] 0.27434949602777015 3 [1.717233 1.442883 1.376796 6.859484 1.331607] 0.06608786561380797 4 [1.442883 1.376796 1.365656 1.331607 0.19207 ] 0.011139180030541596 5 [1.376796 1.365656 1.365232 0.19207 0.007041] 0.00042390961991034537 raiz en : 1.3652324200312267
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3. Algoritmo en Python
El algoritmo básico a usar es:
# Método de secante import numpy as np # INGRESO fx = lambda x: x**3 + 4*x**2 - 10 a = 1 b = 4 tolera = 0.001 iteramax = 20 precision = 5 c = (a+b)/2 # probar dos puntos en un mismo lado de f(x) # PROCEDIMIENTO xi_1 = c xi = b itera = 0 tramo = np.abs(xi-xi_1) print('i','[ x[i-1], xi, x[i+1], f[i-1], fi ]','tramo') np.set_printoptions(precision) while not(tramo<tolera or itera>iteramax): fi_1 = fx(xi_1) fi = fx(xi) xi1 = xi-fi*(xi_1 - xi)/(fi_1-fi) tramo = np.abs(xi1-xi) print(itera,np.array([xi_1,xi, xi1, fi_1,fi]),tramo) xi_1 = xi xi = xi1 itera = itera + 1 respuesta = xi # SALIDA print('raiz: ',respuesta)
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4. Función en Python
Una función resumida, se recomienda realizar la validación de cambio de signo entre [a,b]
# Método de secante import numpy as np def secante_raiz(fx,a,b,tolera, iteramax=20, vertabla=True, precision=6): '''fx en forma numérica lambda Los valores de [a,b] son seleccionados desde la gráfica de la función ''' xi_1 = a xi = b itera = 0 tramo = np.abs(xi-xi_1) if vertabla==True: print('método de la Secante') print('i','[ x[i-1], xi, x[i+1], f[i-1], fi ]','tramo') np.set_printoptions(precision) while not(tramo<tolera or itera>iteramax): fi_1 = fx(xi_1) fi = fx(xi) xi1 = xi-fi*(xi_1 - xi)/(fi_1-fi) tramo = np.abs(xi1-xi) if vertabla==True: print(itera,np.array([xi_1,xi,xi1,fi_1,fi]),tramo) xi_1 = xi xi = xi1 itera = itera + 1 if itera>=iteramax: xi = np.nan print('itera: ',itera, 'No converge,se alcanzó el máximo de iteraciones') respuesta = xi return(respuesta) # INGRESO fx = lambda x: x**3 + 4*x**2 - 10 a = 1 b = 4 tolera = 0.001 c = (a+b)/2 # probar dos puntos en un mismo lado de f(x) # PROCEDIMIENTO respuesta = secante_raiz(fx,c,b,tolera, vertabla=True,precision = 5) # SALIDA print('raíz en: ', respuesta)
Scipy.optimize.newton – Secante
El método de la secante se encuentra implementado en Scipy en la forma de algoritmo de newton, que al no proporcionar la función para la derivada de f(x), usa el método de la secante:
>>> import scipy.optimize as opt >>> opt.newton(fx,xa, tol=tolera) 1.3652320383201266
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.newton.html
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