Referencia: Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3. p11, 9Ed p11. Chapra, 4.1 p80. Taylor Series (Wikipedia)
Para la siguiente función trigonométrica:
f(x) = \cos (x)alrededor de x0 = 0, encontrar:
a) el segundo polinomio de Taylor (n=2),
b) el tercer polinomio de Taylor (n=3), para aproximar cos(0.01)
c) con el resultado anterior y su término residuo aproximar
1 Desarrollo analítico
Para el polinomio de Taylor se tiene que:
P_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k P_{n}(x) = f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!} (x-x_0) + + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 + \text{...}Para la expresión completa, se desarrollan las derivadas y se se evalua cada expresión en x0 = 0, como se muestra a continuación
| f(x) = cos(x) | f(0) = 1 |
| f'(x) = -sen(x) | f'(0) = 0 |
| f”(x) = -cos(x) | f”(0) = -1 |
| f’”(x) = sen(x) | f’”(0) = 0 |
| f4(x) = cos(x) | f4(0) = 1 |
En el literal a) para n=2 y x0=0:
\cos (x) = 1 + \frac{0}{1} (x-0) + \frac{-1}{2}(x-0)^2 + +\frac{\sin(\xi(x))}{6}(x-0)^3A la expresión se añade un término más para estimar el error, como residuo o error de truncamiento, evaluado en ξ(x).
\cos (x) = 1 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{\sin(\xi(x))}{6}x^3con lo que si x=0.01
\cos (0.01) = 1 - \frac{1}{2}(0.01)^2 + \frac{1}{6}(0.01)^3 \sin(\xi(x)) = 0.99995 + 0.16 \text{x} 10^{-6} \sin(\xi(x))El término del error es es del orden 10-6, la aproximación coincide por lo menos con los cinco primeros dígitos.
El residuo o error de truncamiento ξ(x) está entre 0 y x,
0<ξ(x) <0.01
Observe que los términos impares evaluados en x0=0 se anulan, por lo que el polinomio solo cambia con términos pares.
Tarea: revisar y continuar con los siguientes literales.
2 Desarrollo Algorítmico con Sympy-Python
Una forma de obtener los polinomios de Taylor es crear una función que resuelva el polinomio. Para el algoritmo, usar la forma simbólica es una opción para crear la expresión.
Por facilidad se usan funciones matemáticas expresadas de forma simbólica con Sympy, con lo que se obtiene las derivadas y se crea el polinomio para el grado requerido.
De ser necesario, revisar los conceptos para Sympy en:
Fórmulas y funciones simbólicas con Python – Sympy
2.1 Algoritmo para construir el polinomio de Taylor de grado n
El algoritmo usa la forma simbólica de la expresión para crear el polinomio.
El procedimiento consiste en crear cada término k-ésimo y añadirlo a la expresión del polinomio. Al final se presenta solo la expresión del polinomio
# Aproximación Polinomio de Taylor alrededor de x0 # f(x) en forma simbólica con sympy # Burden 7Ed Capítulo 1.1 Ejemplo 3.p11,pdf21;9Ed p11. import numpy as np import sympy as sym # INGRESO x = sym.Symbol('x') fx = sym.cos(x) muestras = 51 x0 = 0 grado = 2 # grado>0 n = grado + 1 # Términos de polinomio # PROCEDIMIENTO k = 0 # contador de términos polinomio = 0 while (k < n): derivada = fx.diff(x,k) derivadax0 = derivada.subs(x,x0) divisor = np.math.factorial(k) terminok = (derivadax0/divisor)*(x-x0)**k polinomio = polinomio + terminok k = k + 1 # SALIDA print(polinomio)
un ejemplo de ejecución del algoritmo con n=3:
1 - x**2/2
Para una interpretación gráfica del resultado, luego el polinomio se evalúa en el intervalo [a, b] que incluya x0.
En las siguientes páginas 1.4.2 y 1.4.3 se propone como tema complementario, no obligatorio para la parte algorítmica, se generaliza el algoritmo usando el formato def-return y se añade la gráfica que incluye el polinomio con diferentes grados.