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1Eva_IT2011_T4 limite central

1ra Evaluación I Término 2011-2012. Julio 7, 2011. FIEC03236

Tema 4 (15 puntos). Un estudiante usa lápices cuya duración es de 14 días.

Use el teorema del límite central para determinar el mínimo número de lápices que debería comprar al inicio del semestre (15 semanas) para tener una probabilidad de 0.98 de no quedarse sin lápices durante el semestre.

f_X (x) = \lambda e^{-\lambda x}
Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{x}^{\infty} e^{-t^2 /2} dt
x Q(x) x Q(x)
0 5.00E-01 2.7 3.47E-03
0.1 4.60E-01 2.8 2.56E-03
0.2 4.21E-01 2.9 1.87E-03
0.3 3.82E-01 3.0 1.35E-03
0.4 3.45E-01 3.1 9.68E-04
0.5 3.09E-01 3.2 6.87E-04
0.6 2.74E-01 3.3 4.83E-04
0.7 2.42E-01 3.4 3.37E-04
0.8 2.12E-01 3.5 2.33E-04
0.9 1.84E-01 3.6 1.59E-04
1.0 1.59E-01 3.7 1.08E-04
1.1 1.36E-01 3.8 7.24E-05
1.2 1.15E-01 3.9 4.81E-05
1.3 9.68E-02 4.0 3.17E-05
1.4 8.08E-02 4.5 3.40E-06
1.5 6.68E-02 5.0 2.87E-07
1.6 5.48E-02 5.5 1.90E-08
1.7 4.46E-02 6.0 9.87E-10
1.8 3.59E-02 6.5 4.02E-11
1.9 2.87E-02 7.0 1.28E-12
2.0 2.28E-02 7.5 3.19E-14
2.1 1.79E-02 8.0 6.22E-16
2.2 1.39E-02 8.5 9.48E-18
2.3 1.07E-02 9.0 1.13E-19
2.4 8.20E-03 9.5 1.05E-21
2.5 6.21E-03 10.0 7.62E-24
2.6 4.66E-03
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1Eva_IT2011_T3 Varianza y acumulada

1ra Evaluación I Término 2011-2012. Julio 7, 2011 . FIEC03236

Tema 3 (20 puntos). Dada la función de distribución de probabilidad FX(x), encuentre:
a) P(X = -0.5)
b) P(|X| ≤ 0.5)
c) Dibuje fX(x|x ≥ -½)
d) Si Y=X+1, dibuje FY(y)
e) Determine Var[Y]

Nota: literal a y b (2 puntos), c y d (6 puntos), e (4 puntos)

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1Eva_IT2011_T2 función densidad

1ra Evaluación I Término 2011-2012. Julio 7, 2011 . FIEC03236

Tema 2 (35 puntos).  Las variables aleatorias X, Y tienen la siguiente función densidad de probabilidad:

f_{XY}(x,y) = \begin{cases} k && 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\\ 2k && 1 \leq x \leq 2, 1 \leq y \leq 2\\0 && \text{otro valor}\end{cases}

Determine los siguiente valores:
a) El valor de k para cumplir que sea función densidad de probabilidad
b) P[X ≤ 1,Y ≤ 1]
c) P[X ≤ 1]
d) P[Y ≤ 1|X ≤ 1 ]
e) P[X+Y ≤ 1]
f) P[X ≤ Y2]

Nota: literales a-e (5 puntos), literal f (10 puntos)

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1Eva_IT2011_T1 Correlación y covarianza

1ra Evaluación I Término 2011-2012. Julio 7, 2011 . FIEC03236

Tema 1 (30 puntos). Las variables aleatorias X y Y tienen una distribución conjuntamente uniforme con función densidad conjunta:

fX,Y(x,y) = 2

dentro de la región mostrada en la figura y 0 en otra parte.

Determinar:
a) Encuentre y grafique la pdf marginal para X y Y.
b) Encuentre la correlación y la covarianza de X y Y.
c) ¿X y Y son independientes? Ortogonales? No correlacionadas? Justifique su respuesta.

Rúbrica: 10 puntos cada literal

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3Eva_IIT2010_T4 Densidad espectral de potencia

3ra Evaluación II Término 2010-2011. Febrero 17, 2011. FIEC03236

Tema 4 (25 puntos). Sea X(t) un proceso estocastico estacionario en el sentido amplio (WSS) con valor esperado E[X(t)]=a y con una SX(f).

Considere la variable aleatoria Θ con distribución uniforme en (0, 2π) que es independiente de la variable aleatoria definida X(t), y el proceso :

Y(t) = 2 X(t) cos (\omega_0 t + \Theta)

a) Determine si el proceso Y(t) es WSS
b) Encuentre SY(f) y SX(f).

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3Eva_IIT2010_T3 Función densidad discreta

3ra Evaluación II Término 2010-2011. Febrero 17, 2011. FIEC03236

Tema 3 (25 puntos). Un proceso estocástico discreto Xn se define como:

Se lanza una moneda balanceada.

Si el resultado es cara:

X_n = (-1)^{n} , \text{para todo n}

Si el resultado es sello:

X_n = (-1)^{n+1} , \text{para todo n}

a) Dibuje tres realizaciones del proceso estocástico
b) Encuentre la función densidad de probabilidad pmf de Xn
c) Encuentre la función densidad conjunta para Xn y Xn+k

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3Eva_IIT2010_T1 Función de densidad

3ra Evaluación II Término 2010-2011. Febrero 17, 2011. FIEC03236

Tema 1 (25 puntos). Sea X una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad uniforme en [-a,a].

Sea Y = g(x) otra variable aleatoria mostrada en la figura:

a) Determine y dibuje la función densidad de Y
b) Determine P[ y < a/2]

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2Eva_IIT2010_T4 Densidad espectral de potencia

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 4 (30 puntos). Asuma un proceso estocástico estacionario en el sentido amplio X(t) con función de autocorrelación:

R_X(t) = 16 + e^{-|t|} , t \in \Re Y(t) = 2 + X(t) cos (12\pi t)

a) Calcule la potencia promedio de X(t)
b) Determine la funcion de autocorrelación RY(t, t+τ)
c) Determine la densidad espectral de potencia Y(t)

Pares de transformadas de Fourier

x(t) \leftrightarrow X(\omega) e^{-a|t|} \leftrightarrow \frac{2a}{a^2 + \omega ^2} , a>0
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2Eva_IIT2010_T3 Estacionario en sentido amplio

2da Evaluación II Término 2010-2011. Febrero, 2011. FIEC03236

Tema 3 (20 puntos). Se define un proceso estocástico:

X(t) = A cos(\omega t)+ B sen(\omega t)

donde A y B son variables aleatorias gausianas independientes e identicamente distribuidas (iid) con valores esperados iguales a cero y varianza σ2 .

Determine si X(t) es estacionario en el sentido amplio. Demuestre explícitamente su respuesta.