Autor: Edison Del Rosario

Referencia: León-García p.42, Gubner p.35, Ross p.10

Combinatorias es el estudio de metodos sistemáticos de conteo, las cuatro clases de problemas principales son:

1. Muestreo ordenado con reemplazo
2. Muestreo ordenado sin reemplazo
3. Muestreo no ordenado sin reemplazo
4. Muestreo no ordenado con reemplazo

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Muestreo ordenado con reemplazo

Se llaman variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los diferentes grupos que pueden formarse con los m elementos dados, tomados de n en n.
Dos grupos pueden ser distintos entre si, si tienen diferentes elementos en diferente orden.

El número de posibles k-tuplas en distinto orden (x₁x₂x₃… x_k) con elementos x_i de un grupo de n_i elementos diferentes es:

número de k-tuplas en orden distinto = n₁n₂n₃… n_k

Ejemplo : Posibles rutas para un paquete de internet

León-García E2.15 p.42.
Una urna tiene cinco pelotas numeradas de 1 al 5. Suponga que se sacan dos pelotas de la urna con reemplazo.

– ¿Cuántos pares diferentes de se pueden obtener?

pares diferentes = 5 * 5 = 5² = 25 pares diferentes

– ¿Cuál es la probabilidad que en se repitan las pelotas?

las formas de repetir son (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) y (5,5), en total 5 de un total de 25 pares diferentes, por lo que la probabilidad será 5/25 = 1/5 = 0.20

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Muestreo ordenado sin reemplazo

Se seleccionan k elementos en sucesi{on sin reemplazo de una población A de n elementos diferentes. Con k≤n, la primera vez se pueden escoger n₁=n elementos diferentes, la segunda n₂=n-1, la tercera n₃=n-2, … en la última n_k=n-(k-1)

número de k-tuplas en orden distinto = n(n-1)(n-2)…(n-k+1)

n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}

Ejemplo :

León-García E2.17 p.43.
Una urna tiene cinco pelotas numeradas de 1 al 5. Suponga que se sacan tres pelotas sin reemplazo .

– ¿Cuántos tripletas diferentes de se pueden obtener?

tripletas diferentes = 5 * 4 * 3 = 60 formas diferentes

(5!)/(5-3)! = 5!/2! = 5*4*3*(2!)/2! =5*4*3 = 60 formas diferentes

import scipy.special as sts

sts.perm(5,3)

60.0

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Muestreo no ordenado sin reemplazo

Se sacan k elementos de un grupo A de n objetos diferentes sin reemplazo, y que se escriben los resultados sin importar e orden. Sería como colocarlos en otro conjunto B, el orden deja de importar.

En el nuevo conjunto B, existen k! formas ordenadas de seleccionar los objetos, y C_kⁿ será el valor buscado de las combinaciones de tamaño k del conjunto A de n elementos.

C_k^n k! = n(n-1)(n-2)...(n-k+1) = = \frac{n!}{(n-k)!}

que simplificando se convierte el «coeficiente binomial» y se lee «de n toma k elementos»:

C_k^n = \frac{1}{n!} \frac{k!}{(n-k)!} = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)

da lo mismo escoger k elementos del conjunto A, que dejar n-k elementos en el conjunto, por lo que:

\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} n \\ n-k \end{array} \right)

Ejemplo :

Gubner E 1.38 p.38.

Se requiere conformar un jurado de 12 personas seleccionados de un total de 20 jueces. ¿Cuántas formas posibles existen para conformar el jurado?. No importa el orden.

\left( \begin{array}{c} 20 \\ 12 \end{array} \right) = \frac{20!}{12!8!} = 125970

import scipy.special as sts

sts.comb(20,12,repetition=False)

125970.0

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Muestreo no ordenado con reemplazo

Se toman k objetos de un grupo de n objetos diferentes con reemplazo, se escribe el resultado sin importar el orden.

\left( \begin{array}{c} n-1+k \\ k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} n-1+k \\ n-1 \end{array} \right)

Ejemplo : Dispensadora de frutas

(Gubner Ej 1.38 )

En una maquina dispensadora automática se entregan manzanas, bananas y peras. Por un precio fijo, se puden obtener cinco frutas seleccionadas por el cliente.

El proceso se maneja electrónicamente con una secuencia de 7 bits que los ceros (0) representan las manzanas, bananas y peras en orden y se separan por un bit uno (1) como en el ejemplo:

0100100 son un manzana, dos bananas y dos peras.

El primer grupo de 0’s es manzanas, el segundo grupo de 0’s son bananas y el grupo final de 0’s son peras.
¿Cuántas opciones tienen los clientes?

Solución: Equivale a preguntar cuántas secuencias de 7 bits hay con cinco ceros y dos unos.

\left( \begin{array}{c} 7 \\ 5,2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 7 \\ 5 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{c} 7 \\ 2 \end{array} \right)

import scipy.special as sts

c1 = sts.comb(7,2)
c2 = sts.comb(7,5)

print(c1)
print(c2)

21.0
21.0

Referencia: León-García p.53, Gubner p.30, Parsen p.13/pdf.34, Ross p.10

Eventos Independientes

Conocer que al ocurrir un evento B no se altera la probabilidad de otro evento A, se dice que A es independiente de B. Para lo cual se cumple que:

P[ A \cap B ] = P[A] P[B]

que implica que:

P[A|B] = P[A]

y que:

P[B|A] = P[B]

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Ejemplo: Transmisión de paquetes por Routers

Gubner E1.23 p.31

Un mensaje se transmite en forma de paquete de dato desde la ciudad de Guayaquil a Daule usando los “Router1”, un enlace de fibra óptica y el “router2” mostrados en la figura. Cada router puede descartar un paquete con una probabilidad p=0.01.

¿Cuál sería la probabilidad de transmitir con éxito un paquete entre el origen y destino?

Un paquete se transmite con éxito si y solo si ninguno de los routers descarta el paquete.

En lenguaje de eventos se dice que: descartar un paquete por el router 1 es D₁ y para el router 2 es D₂.

Sea el evento A cuando el paquete se transmite con éxito, ocurre solo cuando el paquete no se descarta en ningún router.

A = D_1^c \cap D_2^c

El problema indica que D₁ y D₂ son eventos independientes, por lo que D₁^c y D₂^c también son independientes, entonces:

P[A] = P[D_1^c \cap D_2^c] = P[D_1^c] P[D_2^c] = [1-P[D_1][1-P[D_2]] = (1-p)^2

dado que p=0.01, entonces P[A] = (1-0.01)² = 0.9801

otra forma de ver el problema:

	D1c	D1
D2c	(1-p)(1-p)	(1-p)p
D2	(1-p)p	p2

con números es:

	D1c	D1	PMarginal
D2c	0.9801	0,0099	0,99
D2	0,0099	0,0001	0,01
Pmarginal	0,99	0,01	1

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Ejemplo: urnas con pelotas numeradas y de color

León-García E2.31 p.54

De una urna que contiene dos pelotas negras numeradas 1 y 2, y dos blancas numeradas 3 y 4, se obtienen una pelota.

Sean los eventos en los que se obtiene :

A = {(1,negra), (2,negra)}, «una pelota negra»
B = {(2,negra), (4,blanca)}, «una pelota numerada par»
C = {(3,blanca), (4,blanca)}, «una pelota con número mayor que 2»

a) Los eventos A y B ¿son independientes?
b) Los eventos A y C ¿son independientes?

Desarrollo :
a) las probabilidades de A y B son:

P[A] = P[B] = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} P[A \cap B] = P[\{(2,negra)\}] = \frac{1}{4}

entonces:

P[A \cap B] = \frac{1}{4} = P[A]P[B]

por lo que A y B son independientes. Otra forma de escribirlo es:

P[A|B] = \frac{P[A \cap B]}{P[B]} = \frac{P[\{(2,negra)\}]}{P[\{(2,negra), (4,blanca)\}]} = = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}

y para P[A]:

P[A] = \frac{P[A]}{P[S]} = \frac{P[\{(1,negra), (2,negra)\}]}{P[\{(1,negra), (2,negra),(3,blanca), (4,blanca) \}]} = = \frac{1/2}{1}

las ecuaciones implican que P[A]=P[B] debido que la proporción de las salidas en S tienen como resultado que A ocurre el mismo número de veces que B. Por lo que al conocer cuando ocurre B, no se altera la probavilidad de que ocurra A.

b) Los Eventos A y C no son independientes dado que:
P[A \cap C] = P[\emptyset] = 0
P[A|C] = 0 \neq P[A] = \frac{1}{2}

A y C son mutuamente excluyentes dado que A∩C=∅, por lo que ocurra C implica que A no ha ocurrido de forma definitiva.

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En general, si dos eventos tienen probabilidad diferente de cero y son mutuamente excluyentes, no pueden ser independientes.

Si fueran independientes y mutiamente excluyentes:

0=P[A∩B] =P[A]P[B]

lo que implica que al menos uno de los eventos deben tener probabilidad cero.