Referencia: León-García p.53, Gubner p.30, Parsen p.13/pdf.34, Ross p.10
Eventos Independientes
Conocer que al ocurrir un evento B no se altera la probabilidad de otro evento A, se dice que A es independiente de B. Para lo cual se cumple que:
P[ A \cap B ] = P[A] P[B]que implica que:
P[A|B] = P[A]y que:
P[B|A] = P[B]Ejemplo: Transmisión de paquetes por Routers
Gubner E1.23 p.31
Un mensaje se transmite en forma de paquete de dato desde la ciudad de Guayaquil a Daule usando los “Router1”, un enlace de fibra óptica y el “router2” mostrados en la figura. Cada router puede descartar un paquete con una probabilidad p=0.01.
¿Cuál sería la probabilidad de transmitir con éxito un paquete entre el origen y destino?
Un paquete se transmite con éxito si y solo si ninguno de los routers descarta el paquete.
En lenguaje de eventos se dice que: descartar un paquete por el router 1 es D1 y para el router 2 es D2.
Sea el evento A cuando el paquete se transmite con éxito, ocurre solo cuando el paquete no se descarta en ningún router.
A = D_1^c \cap D_2^cEl problema indica que D1 y D2 son eventos independientes, por lo que D1c y D2c también son independientes, entonces:
P[A] = P[D_1^c \cap D_2^c] = P[D_1^c] P[D_2^c] = [1-P[D_1][1-P[D_2]] = (1-p)^2dado que p=0.01, entonces P[A] = (1-0.01)2 = 0.9801
otra forma de ver el problema:
| D1c | D1 | |
|---|---|---|
| D2c | (1-p)(1-p) | (1-p)p |
| D2 | (1-p)p | p2 |
con números es:
| D1c | D1 | PMarginal | |
|---|---|---|---|
| D2c | 0.9801 | 0,0099 | 0,99 |
| D2 | 0,0099 | 0,0001 | 0,01 |
| Pmarginal | 0,99 | 0,01 | 1 |
Ejemplo: urnas con pelotas numeradas y de color
León-García E2.31 p.54
De una urna que contiene dos pelotas negras numeradas 1 y 2, y dos blancas numeradas 3 y 4, se obtienen una pelota.
Sean los eventos en los que se obtiene :
A = {(1,negra), (2,negra)}, «una pelota negra»
B = {(2,negra), (4,blanca)}, «una pelota numerada par»
C = {(3,blanca), (4,blanca)}, «una pelota con número mayor que 2»
a) Los eventos A y B ¿son independientes?
b) Los eventos A y C ¿son independientes?
Desarrollo :
a) las probabilidades de A y B son:
entonces:
P[A \cap B] = \frac{1}{4} = P[A]P[B]por lo que A y B son independientes. Otra forma de escribirlo es:
P[A|B] = \frac{P[A \cap B]}{P[B]} = \frac{P[\{(2,negra)\}]}{P[\{(2,negra), (4,blanca)\}]} = = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{2}y para P[A]:
P[A] = \frac{P[A]}{P[S]} = \frac{P[\{(1,negra), (2,negra)\}]}{P[\{(1,negra), (2,negra),(3,blanca), (4,blanca) \}]} = = \frac{1/2}{1}las ecuaciones implican que P[A]=P[B] debido que la proporción de las salidas en S tienen como resultado que A ocurre el mismo número de veces que B. Por lo que al conocer cuando ocurre B, no se altera la probavilidad de que ocurra A.
b) Los Eventos A y C no son independientes dado que:
P[A \cap C] = P[\emptyset] = 0
P[A|C] = 0 \neq P[A] = \frac{1}{2}
A y C son mutuamente excluyentes dado que A∩C=∅, por lo que ocurra C implica que A no ha ocurrido de forma definitiva.
En general, si dos eventos tienen probabilidad diferente de cero y son mutuamente excluyentes, no pueden ser independientes.
Si fueran independientes y mutiamente excluyentes:
0=P[A∩B] =P[A]P[B]
lo que implica que al menos uno de los eventos deben tener probabilidad cero.