Categoría: densidad espectral de potencia

Referencia: León García ejemplos 10.4 y 10.5 p58, Gubner Ejemplo 10.18 p396

Suma de dos procesos

Encuentre la densidad espectral de potencia de Z(t) = X(t) + Y(t), donde X(t) y Y(t) son procesos conjuntamente estacionarios en el sentido amplio WSS.

Solución

Autocorelación de Z(t) es

R_Z(\tau) = E[Z(t + \tau )Z(t)] = = E[(X(t+ \tau)+ Y(t + \tau ))(X(t) + Y(t))] R_Z(\tau) = R_X(\tau) + R_{XY}(\tau) +R_{YX}(\tau) + R_Y(\tau)

La densidad espectral de potencia se calcula como:

S_Z(f) = Fourier\{ R_X(\tau) + R_{XY}(\tau) +R_{YX}(\tau) + R_Y(\tau) \} S_Z(f) = S_X(f) + S_{XY}(f) +S_{YX}(f) + S_Y(f)

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Referencia: León García Ejemplo 10.5 p.582, Gubner Ejemplo 10.18 p396

Retraso

Sea Y(t) = X(t- d), donde d es una constante de retraso y donde X(t) es estacionario en el sentido amplio WSS.
Encuentre R_YX(τ), S_YX(f), R_Y(τ) y S_Y(f)

Solución

Usando las definiciones se tiene que:

R_{YX}(\tau) = E[Y(t + \tau )X(t)] = = E[X(t + \tau - d)X(t)] = R_{YX}(\tau) = R_X (\tau - d)

que usando la propiedad de desplazamiento en tiempo de la transformada de Fourier:

S_{YX}(f) = Fourier\{ R_X(\tau - d) \} = = S_X(f) e^{-j2 \pi fd} = = S_X(f) \cos (2\pi fd) - jS_x(f) sin (2 \pi fd)

Finalmente.

R_Y(\tau) = E[Y(t + \tau)Y(t)] = = E[X(t + \tau - d)X(t - d)] = R_X(\tau) S_Y(f) = Fourier\{ R_Y(\tau) \} = Fourier\{ R_X(\tau) \} = S_Y(f) = S_X(f)

Note que la densidad espectral de potencia crusada es compleka, y que S_X(f) = S_Y (f) sin importar el hecho que X(t) ≠ Y(t). Entonces S_X(f) = S_Y(f) lo que no implica que X(t) = Y(t)

Referencia: León-García Ejemplo 10.2 p581, Gubner Ejemplo 10.21 p399

Ejercicio

Sea X(t) = a cos(ω t + Θ), donde Θ es uniforme en el intervalo (0,2π) Encontrar la autocovarianza de X(t).
Encuentre la densidad espectral de potencia de S_X(f):

Solución

S_X(f) = Fourier\{ R_X (\tau) \}

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Autocorrelación

R_X (t_1,t_2) = E[(a \cos(\omega t_1 + \Theta)) (a \cos(\omega t_2 +\Theta))]

Recordando que:

E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx cos(x) cos(y) = \frac{cos(x-y) + cos(x+y) }{2}

se tiene que:

= \int_{-\pi}^{\pi} [a\cos(\omega t_1 + \Theta) a\ cos(\omega t_2 +\Theta)] \frac{1}{2\pi} d\Theta = \int_{-\pi}^{\pi} a^2 \frac{\cos(\omega (t_1 - t_2))+\cos(\omega (t_1 + t_2)+ 2\Theta)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Theta = a^2 \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{1}{2\pi} d\Theta + a^2\int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 + t_2 )+ 2\Theta)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Theta

El primer integral, el coseno no depende de Θ, mientras que el segundo integral es semejante al intergral de la media y cuyo resultado es cero.

= a^2 \left. \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{\Theta}{2\pi} \right|_{-\pi}^{\pi} + 0 R_X (t_1,t_2) = \frac{a^2}{2} cos(\omega (t_1 - t_2)) R_X (t_1,t_2) = \frac{a^2}{2} cos(\omega \tau)

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La densidad espectral de potencia entonces es:

S_X(f) = Fourier\{ R_X (\tau) \} = Fourier\{ \frac{a^2}{2} cos(\omega \tau) \} = \frac{a^2}{2} Fourier\{ cos(\omega \tau) \} = \frac{a^2}{2} Fourier\{ cos(2\pi f_0 \tau) \}

usando las tablas de transformadas de Fourier:

= \frac{a^2}{2} (\frac{1}{2}\delta (f-f_0) + \frac{1}{2} \delta (f+f_0)) = \frac{a^2}{4} \delta (f-f_0) + \frac{a^2}{4} \delta (f+f_0))

El promedio de potencia de la señal es R_X(0) = a²/2.
De toda esta potencia, se concentra en las frecuencias en f₀ positiva y negativa, por lo que la densidad espectral de potencia en esta frecuencias es infinita.

Referencia: León García 10.1.1 p578

Sea X(t) un proceso aleatorio contínuo en el tiempo estacionario en el sentido amplio WSS, con media m_X y función de autocorrelación R_X(t).

Si cambiamos el dominio de la función desde tiempo a frecuencia, lo anterior deberá también cambiarse de dominio. Si la función densidad de probabiliad se cambia de dominio, se conocería como periodograma estimador, y se llega a determinar la densidad espectral de potencia de X(t) definida como:

S_X (f) = lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} E \left[ \left| \tilde{x} (f) \right| ^2\right]

La densidad espectral de potencia de X(t) está dada por la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:

S_X (f) = Fourier\{R_x(\tau) \} = \int_{-\infty}^{\infty} R_x(\tau) e^{-j2\pi f \tau} d\tau

La potencia promedio de X(t) se expresa también como:

E[ X^2(t)] = R_X(0) = \int_{-\infty}^{\infty} S_X (f) df

La densiddad espectral de potencia también se relaciona con la autocorrelación y autocovarianza por medio de la transformada de Fourier:

S_X(f) = Fourier\{ C_x (\tau) + m^2_x\}

si consideramos que m_x es un componente constante o «DC»

S_X(f) = Fourier\{ C_x (\tau)\} + m^2_x \delta(f)

ampliando el concepto a densidad espectral de potencia cruzada S_X,Y (f) se define como:

S_{X,Y}(f) = Fourier\{ R_{X,Y} (\tau) \}