Referencia: León-García Ejemplo 10.2 p581, Gubner Ejemplo 10.21 p399
Ejercicio
Sea X(t) = a cos(ω t + Θ), donde Θ es uniforme en el intervalo (0,2π) Encontrar la autocovarianza de X(t).
Encuentre la densidad espectral de potencia de SX(f):
Solución
Autocorrelación
R_X (t_1,t_2) = E[(a \cos(\omega t_1 + \Theta)) (a \cos(\omega t_2 +\Theta))]Recordando que:
E[g(x)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f(x) dx cos(x) cos(y) = \frac{cos(x-y) + cos(x+y) }{2}se tiene que:
= \int_{-\pi}^{\pi} [a\cos(\omega t_1 + \Theta) a\ cos(\omega t_2 +\Theta)] \frac{1}{2\pi} d\Theta = \int_{-\pi}^{\pi} a^2 \frac{\cos(\omega (t_1 - t_2))+\cos(\omega (t_1 + t_2)+ 2\Theta)}{2} \frac{1}{2\pi} d\Theta = a^2 \int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{1}{2\pi} d\Theta + a^2\int_{-\pi}^{\pi} \frac{cos(\omega (t_1 + t_2 )+ 2\Theta)}{2} \frac{1}{2\pi} d\ThetaEl primer integral, el coseno no depende de Θ, mientras que el segundo integral es semejante al intergral de la media y cuyo resultado es cero.
= a^2 \left. \frac{cos(\omega (t_1 - t_2))}{2} \frac{\Theta}{2\pi} \right|_{-\pi}^{\pi} + 0 R_X (t_1,t_2) = \frac{a^2}{2} cos(\omega (t_1 - t_2)) R_X (t_1,t_2) = \frac{a^2}{2} cos(\omega \tau)La densidad espectral de potencia entonces es:
S_X(f) = Fourier\{ R_X (\tau) \} = Fourier\{ \frac{a^2}{2} cos(\omega \tau) \} = \frac{a^2}{2} Fourier\{ cos(\omega \tau) \} = \frac{a^2}{2} Fourier\{ cos(2\pi f_0 \tau) \}usando las tablas de transformadas de Fourier:
= \frac{a^2}{2} (\frac{1}{2}\delta (f-f_0) + \frac{1}{2} \delta (f+f_0)) = \frac{a^2}{4} \delta (f-f_0) + \frac{a^2}{4} \delta (f+f_0))El promedio de potencia de la señal es RX(0) = a2/2.
De toda esta potencia, se concentra en las frecuencias en f0 positiva y negativa, por lo que la densidad espectral de potencia en esta frecuencias es infinita.