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3Eva_IIT2017_T1 Radio con Respaldo

3ra Evaluación II Término 2017-2018.  Febrero 20, 2018

Tema 1. (25 puntos) Un sistema de radio transmisión unidireccional con respaldo, semejante a maquinaria de doble uso, tiene dos partes A y B.

El sistema se mantiene operando solo con una de las dos partes, la otra es de respaldo.

Cualquiera de las partes en operación falla cualquier día con probabilidad a.

Una parte dañada se repara el siguiente día con probabilidad b.

Los eventos de falla y reparación son independientes.

Sea Xn el número de partes funcionando en el día n.

a) Desarrolle un modelo de cadena de Markov usando tres estados (diagrama).

b) Determine la matriz de transición P de un paso usando las variables a, b. Justifique las ecuaciones usadas

c) Usando P y con a=0.1 y b=0.7, encuentre la función de probabilidad de masa de estado estable. (desarrollar).

d) ¿Podría determinar la pmf de estado estable si tuviese n usos o partes? Esquema y explique.

Rúbrica: literal a, estados, diagrama (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c(6 puntos), literal d (4 puntos)

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1Eva_IT2017_T4 Portabilidad numérica

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Portabilidad Numérica

Tema 4 (30 puntos). La portabilidad numérica para redes de telefonía móvil es una funcionalidad que permite que un abonado pueda conservar su número telefónico cuando decide cambiar de operador de red [1].

En Ecuador la portabilidad numérica es posible desde el final del año 2009 y de acuerdo al Ministerio de Telecomunicaciones, con esta iniciativa se garantiza el derecho de los usuarios, se estimula la competencia e innovación y se incentiva a que las operadoras evolucionen rápidamente y creen nuevos servicios, beneficiando a sus suscriptores [2].

Según los datos de Agencia de Regulación y Control de las Telecomunicaciones (ARCOTEL), durante los primeros 6 años de vigencia 1’351.989 usuarios del servicio móvil avanzado (SMA) ejercieron su derecho a la portabilidad numérica.

  • Desde la operadora ROJA dejaron el servicio 602.952 usuarios, 536.157 se cambiaron a VERDE y 66.795 a AZUL.
  • Mientras que salieron de la operadora VERDE 712.236 usuarios, 639.587 se cambiaron a ROJA y 72.649 a AZUL.
  • Desde la operadora AZUL dejaron de utilizar su servicio 36.801 líneas, 19.471 migraron a ROJA y 17.330 a VERDE.

En el año 2015 se registraron 13,8 millones de abonados de telefonía móvil, la participación de la operadora ROJA fue de 62,5%, le sigue VERDE con un 29% y AZUL de 8,5%. [3].

Suponga que los datos corresponden al final del año, tampoco considere las líneas que fueron anuladas por inactividad, como fue dispuesto en ese año por el organismo regulador.

Considerando todos los datos como un solo periodo y que la portabilidad de abonados supone un comportamiento aleatorio similar e independiente en cada periodo aproximado a un modelo tipo Markov, desarrolle las siguientes preguntas:

a) Determine y escriba los estados
b) Realice el diagrama de transición de estados
c) Usando los datos del enunciado, determine las probabilidades de cambio de operadora y ubíquelas en el diagrama de transición de estados.
d) Realice la matriz de transición equivalente

En adelante, para el ejercicio suponga que el resultado anterior es aplicable en varios periodos.

e) Suponga que observa un abonado de la operadora ROJA:

  1. Determine la probabilidad que en el siguiente periodo sea abonado de VERDE.
  2. Luego el cliente del numeral anterior al segundo periodo decida cambiarse a la operadora AZUL
  3. Para otro abonado de la operadora ROJA, determine la probabilidad que luego de tres periodos no termine en la operadora VERDE.

f) Determine las probabilidades de transición a largo plazo.
g) Para cada uno de los valores encontrados en el literal anterior, con sus palabras describa en una línea el significado referenciado al problema.

Rúbrica: literal a y b (8 puntos), literal c (5 puntos), literal d (5 puntos), literal e (4 puntos), literal f y g (8 puntos).

Referencias:
[1] http://www.arcotel.gob.ec/wp-content/uploads/2015/01/Portabilidad-Numerica-MOD.pdf
[2] http://www.eltelegrafo.com.ec/noticias/economia/8/13-millones-de-usuarios-de-la-telefonia-movil-cambiaron-de-operadora
[3] http://www.elcomercio.com/actualidad/ecuador-lineas-telefoniacelular-arcotel.html

 

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1Eva_IT2017_T2 Cadena de Markov desde diagrama

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Cadena de Markov desde un diagrama de transición de estados

Tema 2 (20 puntos). Considere la siguiente cadena de Markov con estados finitos:

a) Identifique los estados transientes

b) Identifique las clases de los estados recurrentes

c) Para cada clase recurrente, encuentre la probabilidad de estado estable \pi_i . Desarrolle paso a paso.

d) Encuentre las probabilidades de transición para n pasos P_{ij}^{n} como una función de n. Con sus palabras describa cada una (no requiere ecuaciones).

1. P_{44}^n

2. P_{45}^n

3. P_{41}^n

4. P_{43}^n + P_{42}^n

5. \lim_{n \rightarrow \infty} P_{43}^n


Referencia: Chun Tung Chou. COMP9334 Capacity Planning of Computer Systems and Networks. Quiz 2011
Rúbrica: literal a y b (5 puntos), literal c (5 puntos), literal d (10 puntos

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s1Eva_IT2017_T1 Cadena de Markov desde matriz

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Tema 1
Cadena de Markov, desarrollo a partir de la matriz

\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 9/10 & 0 & 1/10 & 0 \\ 0 & 1/10& 0 & 9/10\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Diagrama de Estados de transición:

Resolución planteando las ecuaciones

π0 = (1/2)π0 + (9/10)π1
π1 = (1/2)π0 + (1/10)π2
π2 = (1/10)π1 + (1/2)π3
π3 = (9/10)π2 + (1/2)π3
π0 + π1 + π2 + π3 = 1

usando ecuacion (1)
π0 -(1/2)π0 = (9/10)π1
(1/2)π0  = (9/10)π1
π1 = (5/9)π0

usando ecuacion(2)
(5/9)π0 = (1/2)π0 + (1/10)π2
(5/9)π0 - (1/2)π0 = (1/10)π2
[(10 - 9)/18] π0 = (1/10)π2
[1/18] π0 = (1/10)π2
π2 = (10/18) π0
π2 = (5/9) π0

usando ecuacion (3)
(5/9) π0 = (1/10)(5/9)π0 + (1/2)π3
(5/9) π0 - (1/10)(5/9)π0 = (1/2)π3
(1-1/10)(5/9) π0 = (1/2)π3
(9/10)(5/9) π0 = (1/2)π3
(1/2) π0 = (1/2)π3
π3 = π0

usando la ecuación (5)
π0 + (5/9)π0 + (5/9) π0 +  π0 = 1
(1 + 5/9 + 5/9 + 1) π0 = 1
(2 + 10/9) π0 = 1
(28/9) π0 = 1
π0 = (9/28)

π1 = (5/9)(9/28) = 5/28
π2 = 5/28
π3 = 9/28

resolución usando numpy de python

# Tema 1. matriz de transición
import numpy as np

p=np.array([
    [ 1/2, 1/2,   0,   0],
    [9/10,   0,1/10,   0],
    [   0,1/10,   0,9/10],
    [   0,   0, 1/2, 1/2]
    ])
n=200
pn=np.linalg.matrix_power(p,n)
print(pn)

# Resolviendo por matrices A= AT-I) y el vector de ceros terminado en 1
k=len(p)
A=p.transpose()
A=A-np.identity(k, dtype=int)
# la última fila se sustituye por la suma de probabilidades
A[-1,:]=np.ones(k,dtype=int)
B=np.zeros(k,dtype=int)
B[-1]=1  # el último
Pncalc=np.linalg.solve(A,B)
print('largo plazo')
print(Pncalc)

[[ 0.32142907  0.17857167  0.17857119  0.32142808]
 [ 0.321429    0.17857164  0.17857122  0.32142814]
 [ 0.32142814  0.17857122  0.17857164  0.321429  ]
 [ 0.32142808  0.17857119  0.17857167  0.32142907]]
largo plazo
[ 0.32142857  0.17857143  0.17857143  0.32142857]

verificando que las fracciones sean los valores encontrados por python:

print(5/28)

0.17857142857142858
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1Eva_IT2017_T1 Cadena de Markov desde matriz

1ra Evaluación I Término 2017-2018. Junio 27, 2017

Tema 1 (20 puntos). Dibuje el diagrama de transición de estados y encuentre la distribución (estacionaria) de la cadena de Markov cuya matriz de transición es:

\begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\ 9/10 & 0 & 1/10 & 0 \\ 0 & 1/10& 0 & 9/10\\ 0 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Nota: Realice el desarrollo paso a paso, planteando las ecuaciones.

Referencia: Prob.12.8. Gubner, J. A. (2006). Probability and random processes for electrical and computer engineers. Cambridge University Press.

Rúbrica: diagrama (5 puntos), desarrollo paso a paso (10 puntos), resultados (5 puntos)