Variables Aleatorias Contínuas

Referencia: Ross 2.4 p32, Gubner 4.1 p139, León-García 4.1.1 p 146

Una variable aleatoria X se define como una función no negativa f(x) para todos los reales x ∈ (-∞,∞) que tiene la propiedad que para cualquier rango B:
P(X \in B) = \int_B f(x) \delta x

f(x) se conoce como la función densidad de probabilidades o pdf de la variable X, que además satisface:

1 = P(X \in (-\infty,\infty) = \int_{\infty}^{\infty}f(x) \delta x

Si B = [a,b] muestra la función en un intervalo,

p(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \delta x

cuando a=b, se tienen que el integral es cero, lo que muestra que la probabilidad de una variable contínua pueda tomar un valor particular es cero.

Con variables aleatorias contínuas para mejor interpretación se utiliza el valor de la función de distribución acumulada o cdf que se expresa como:

F(a) = P(X \in (-\infty,a]) = \int_{-\infty}^{a} f(x) \delta x

al derivar ambos lados se tiene que:

\frac{\delta}{\delta a} F(a) = f(a)
muestra que la densidad es la derivada de la acumulada.

f_x(x) = \frac{\delta F_x (x)}{\delta x}