Fernando Tenesaca | | Álgebra lineal [MATG1003]

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. Sea $\theta\in [0,2\pi]$ fijo y $T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ la transformación lineal cuya matriz en la base canónica es: $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\end{pmatrix}$ entonces $T$ es invertible.

b. Sea $\{u_1,u_2,...,u_k\}$ un conjunto de vectores linealmente independientes y sea $S$ el subespacio generado por dicho conjunto. Si $v\notin S$ , entonces el conjunto $\{u_1,u_2,...,u_k,v\}$ también es un conjunto linealmente independiente.

c. Se sabe que las transformaciones lineales $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^2$ y $S:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ son no nulas y satisfacen que $S$ es inyectiva y $Nu(T\circ S)=\mathbb{R}^2$ . Por ello, la nulidad de $T$ es $3$ .

d. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$ $\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 4

Sea $V=\mathbb{R}^3$ y sea $H$ el subespacio de $V$ definido como $H=gen\left\{ \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ 1\\ -1 \end{array}\end{pmatrix} \right\} \quad y \quad x=\begin{pmatrix}\begin{array} {r} 1 \\ 3\\ 2 \end{array}\end{pmatrix}$ usando el producto interno canónico o estándar, halle:

a. El complemento ortogonal de $H$ .

b. Una base ortonormal de $H$ .

c. La proyección ortogonal de $x$ sobre $H$ .

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 3

Determine los valores propios y vectores propios de la matriz $A$ y además la matriz ortogonal que permite la diagonalización de la matriz $A$ . $A=\begin{pmatrix}\begin{array} {rrrr} 1&-2&0&0 \\ -2&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}$

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Construya de ser posible un operador lineal $T:\mathbb{R}^4\longrightarrow \mathbb{R}^4$ , tal que el espacio propio asociado al valor propio $\lambda=0$ sea $W=\left\{ \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix} \right\}$ y además $T\begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \quad ; \quad T\begin{pmatrix}0 \\ 2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\begin{array} {r} 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0\end{array}\end{pmatrix}$

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. La matriz que se muestra es diagonalizable para todo $c\in \mathbb{R}$ . $\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&2\\0&0&c\end{pmatrix}$

b. Si $B$ es una matriz de orden $n$ semejante a una matriz $A$ de orden $n$ y diagonalizable, entonces $B$ es diagonalizable.

c. Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno. Sean $u$ , $v$ y $w$ vectores de $V$ . Si $\langle u,w \rangle=\langle v,w \rangle$ , entonces $u=v$ .
Nota: $\langle u,w \rangle$ denota el producto interno en $V$ .

d. Sea $T:V \longrightarrow W$ una transformación lineal. Si $dim \; V=dim \; W=n$ y $T$ es sobreyectiva, entonces $T$ es inyectiva.

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere $\mathbb{P}_3$ , el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a $3$ , con el producto interno definido por: $\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle=a_3b_3+2a_2b_2+4a_1b_1+a_0b_0}$ Considere además la transformación $T:\mathbb{P}_3 \longrightarrow \mathbb{P}_3$ definida por $T(p)=p(-1)+p(0)x^2$ .

a. Determine una base para la imagen de $T$ .

b. Determine una base para el complemento ortogonal del núcleo de la transformación lineal $T$ .

c. Encuentre la proyección ortogonal de $r(x)=3x^3+2x^2+x+1$ sobre el núcleo de $T$ .

Tema 3

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Se sabe que $\lambda_1 = 2$ y $\lambda_2 = -3$ son los valores propios de una matriz $A$ de tamaño $3\times 3$ y entradas reales. Además, se tiene que los respectivos espacios propios son:
$E_{\lambda_1}=gen\{(1,0,-1)\} \qquad E_{\lambda_2}=gen\{(1,0,0),(0,2,3)\}$ Determine:

a. Si $A$ es diagonalizable.

b. La matriz $A$ .

Tema 2

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Sean $B_1$ y $B_2$ bases de $\mathbb{R}^2$ tales que $M_{B_1 B_2}=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & -3 \end{pmatrix}$ es la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ .

a. Si $[u]_{B_1}=\begin{pmatrix}-1\\4 \end{pmatrix}$ , calcular $[u]_{B_2}$ .

b. Si $[v]_{B_2}=\begin{pmatrix}3\\5 \end{pmatrix}$ , calcular $[v]_{B_1}$ .

c. Si $B_1=\{(1,3),(0,4)\}$ , obtener la base de $B_2$ .

Tema 1

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas, justifique su respuesta. Puede escribir un contraejemplo si considera que la proposición es falsa.

a. El siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene solución única para todo valor real de $a$ $\left\{\begin{aligned} -2x+y-z&=ax \\ -x-y&=ay \\ y-3z&=az \end{aligned}\right.$

b. Sean $V$ un espacio vectorial, sobre un campo $\mathbb{K}$ , con producto interno y $v_1,v_2\in V$ dos vectores no nulos. Si $v_1$ y $v_2$ son dos vectores ortogonales, entonces $[v_1,v_2]$ es un conjunto linealmente independiente de $V$ .

c. Si $A$ es una matriz $2\times 2$ y $p(\lambda)$ es su polinomio característico, entonces $p(\lambda)=\lambda^2-(Traza\;A)\lambda+det(A)$ .

d. Sean $V$ un espacio vectorial, con producto interno, $u$ , $v$ dos vectores cualesquiera en $V$ , si $\lVert u\rVert=\lVert v\rVert$ , entonces $u+v$ es ortogonal a $u-v$ .

e. Sean $H=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ 2x+3y-z=0 \right\} }$ y $K=\scriptsize{\left\{\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z\end{array}\right):\ x-2y+5z=0 \right\} }$ . Entonces $H\cup K$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .

Tema 4

Examen | 2017-2018 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

Dada la matriz $A=\small{\begin{pmatrix}2a-b & 0 & 2a-2b\\ 1 & a & 2 \\ b-a & 0 & -a+2b\end{pmatrix}}$ . Determine, de ser posible, los valores de $a$ y $b$ para que $A$ sea una matriz diagonalizable.