cl2-04. Conjunto Generador

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Definición. Se dice que los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} generan el espacio vectorial V si cualquier vector que pertenece a V puede expresarse como combinación lineal de los mismos; es decir,\forall v\in Vexisten escalares \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n, tales que v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3+...+\alpha_n v_nPor consiguiente, los vectores v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}},v_{\mathrm{3}},...,v_{\mathrm{n}} constituyen un conjunto generador de V.

Notación. Conjunto generador de V se denota como V=gen \left \{v_1,v_2,...,v_n\right\}.

Ejemplo. Sea V el espacio vectorial \mathbb{R^3} y sean:v_1=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)\ v_2=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)\ v_3=\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)Determine si los vectores v_1,v_2,v_3 constituyen un conjunto generador de V.

Solución. Para determinar si \left\{v_1,v_2,v_3\right\} constituye un conjunto generador de V se verifica si existen constantes \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 tales que:v=\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\alpha_3 v_3de dondev=\alpha_1\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2\\ 1 \end{array}\right)+\alpha_2\left(\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+\alpha_3\left(\begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) Una vez planteado el sistema de ecuaciones lineales asociado, se utiliza un vector característico del espacio vectorial V como parte de la matriz adjunta correspondiente \left\{ \begin{array}{rcrcrcl}\alpha_1&+&\alpha_2&+&\alpha_3&=&x \\ 2\alpha_1& & &+&\alpha_3&=&y \\ \alpha_1&+&\alpha_2& & &=&z \end{array}\right.\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1&x\\ 2 & 0 & 1&y\\ 1 & 1 & 0&z \end{array}\right) Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales se obtiene:\alpha_1=\frac{-2x+2y+z}{3}\quad \alpha_2=\frac{x-y+z}{3}\quad \alpha_3=\frac{4x-y-2z}{3}

Por consiguiente, como los escalares \alpha_1,\alpha_2 y \alpha_3 pueden expresarse en función de las componentes del vector característico de V; entonces el conjunto de vectores, \left\{v_1,v_2,v_3\right\}, constituye un conjunto generador de V, es decir, V=gen \left \{v_1,v_2,v_3\right\}.

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