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Examen | 2018-2019 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación se presentan cuatro enunciados cada uno de los cuales tienen cuatro posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquella o aquellas opciones correctas.

Literal a. Sean $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subconjuntos de $V$ entonces $( W_1 \cap W_2 )$ es un subespacio.
$\bigcirc$	Si $W_1$ , $W_2$ y $W_3$ son subespacios de $V$ entonces $(W_1 \cap W_2) + W_3$ es un subespacio de $V$ .
$\bigcirc$	Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ y para cada número complejo $a+bi$ se define $(a+bi)v=av$ entonces con esta nueva multiplicación por escalar, $V$ es un espacio vectorial complejo.
$\bigcirc$	Si $W_1$ y $W_2$ son subespacios de $V$ entonces $W_1+W_2$ es el menor subespacio de $V$ que contiene a $W_1 \cup W_2$ .

Literal b. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales de dimensión finita, definidos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Si $B=\{ u_1,u_2,...,u_n \}$ es una base del espacio $V$ , entonces es cierto que:

$\bigcirc$	Existe una única transformación lineal tal que $T(u_1)=T(u_2)=...=T(u_n)$ .
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T\circ G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	Si $T:V\longrightarrow W$ y $G:V\longrightarrow W$ son dos transformaciones lineales entonces $T+G$ es una transformación lineal.
$\bigcirc$	$T$ es un isomorfismo sí, y solo si, $\{ T(u_1),T(u_2),...,T(u_n) \}$ es una base de $W$ .

Literal c. Sea $V$ un espacio vectorial, de dimensión finita, definido sobre un campo $\mathbb{K}$ . Suponga que ${\langle \cdotp | \cdotp \rangle}$ define un producto interno en $V$ . Es cierto que:

$\bigcirc$	${\langle v \| v \rangle}$ puede ser un número complejo.
$\bigcirc$	$d(x,y)\le d(z,x)+d(y,z)$ .
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortonormal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	Si $S$ es un conjunto ortogonal de vectores en $V$ , entonces $S$ es un conjunto linealmente independiente.

Literal d. Sean $u_1$ y $u_2$ dos vectores propios de la matriz $A\in M_n(\mathbb{R})$ asociada a los autovalores $\lambda_1$ y $\lambda_2$ respectivamente. Es cierto que:

$\bigcirc$	$u_1-u_2$ es vector propio asociado a $A$ .
$\bigcirc$	$\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto linealmente independiente en $\mathbb{R}^n$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica, existe un escalar $\alpha$ tal que $u_1=\alpha u_2$ .
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica y $\lambda_1 \neq \lambda_2$ entonces $\{ u_1,u_2 \}$ es un conjunto ortogonal.

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Publicado por

Fernando Tenesaca