Categoría: Segunda Evaluación

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrr} 1&a&-2\\0&b&0\\ -c&0&4 \end{array} \end{pmatrix}$ determine, de ser posible:

Sea $V$ el espacio vectorial real de todas las matrices cuadradas de orden $2$, con las operaciones usuales. Se define, en $V$, el producto interno $\langle A|B \rangle=tr(B^T A)$ (esto es, la traza del producto entre la transpuesta de la matriz $B$ y la matriz $A$). Considerando el subespacio $H=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} \begin{array}{cc} a&b\\b&c \end{array}\end{pmatrix} : a+c=0 \, , \, \forall a,b,c\in \mathbb{R} \end{Bmatrix}$de $V$, determine:

Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R})$ una transformación lineal cuya regla de correspondencia es $T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c$. Determine, de ser posible, los valores de $k$ tal que $T$ sea un isomorfismo.

Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ con producto interno $\langle \cdot|\cdot \rangle$. Si $\mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es un conjunto de vectores en $V$, la matriz de Gram de $\mathcal{A}$ es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es $M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1}$ tal que $a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle$.

A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.