En cuanto funciones, las transformaciones lineales pueden tener la cualidad de inyectiva, sobreyectiva, pueden componerse bajo ciertas condiciones y, si son biyectivas pueden invertirse.
Inyectividad
Definición. Sean V y W espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformación lineal T{:}\ V\rightarrow W. T es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente condición: \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }{{v}_{1}}\ne {{v}_{2}}\Rightarrow T({{v}_{1}})\ne T({{v}_{2}}). La contrapositiva de esta expresión (equivalente) suele utilizarse en las demostraciones: \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{ }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\text{ }\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}.
Ejemplo. Sea la transformación lineal T:{{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\to {{P}_{2}} definida por T(a,b)=(a-2b){{x}^{2}}+(2a+b)x+(-a+3b). Determine si T es inyectiva.
Solución
Se determinará si T cumple con \forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\text{ }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\text{ }\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}.
Sean {{v}_{1}}=({{a}_{1}},{{b}_{1}}) y {{v}_{2}}=({{a}_{2}},{{b}_{2}}) dos elementos arbitrarios de R2 tales que:
T({{a}_{1}},{{b}_{1}})=({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}}), y
T({{a}_{2}},{{b}_{2}})=({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})
Si suponemos el antecedente verdadero, la siguiente expresión es verdadera:
({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}})=
({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})
Lo que implica resolver el siguiente sistema
\left\{ \begin{array}{rcl}{{a}_{1}}-2{{b}_{1}}&=&{{a}_{2}}-2{{b}_{2}} \\ 2{{a}_{1}}+{{b}_{1}}&=&2{{a}_{2}}+{{b}_{2}} \\ -{{a}_{1}}+3{{b}_{1}}&=&-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}} \end{array}\right. \left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & {{{a}_{2}}-2{{b}_{2}}} \\ 2 & 1 & {2{{a}_{2}}+{{b}_{2}}} \\ -1 & 3 & {-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}}} \end{array} \right) \sim ...\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & {{a}_{2}} \\ 0 & 1 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)Se observa que {{b}_{1}}={{b}_{2}} y {{a}_{1}}={{a}_{2}}. En consecuencia, {{v}_{1}}={{v}_{2}} y la transformación dada es inyectiva.
Sobreyectividad
Definición. Sean V y W espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformación lineal T{:}\ V\rightarrow W. T es sobreyectiva si y solo si se satisface la siguiente condición: \forall w\in W\text{ }\exists v\in V\text{ }w=T(v).
Ejemplo. Sea la transformación lineal T:{{P}_{2}}\to {{M}_{2\times 2}} definida por T(a{{x}^{2}}+bx+c) = \left( \begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\ a-2b+c & 2a-4b+2c \end{array} \right) . Determine si T es sobreyectiva.
Solución
Se determinará si se cumple que \forall w\in {{M}_{2\times 2}}\text{ }\exists v\in {{P}_{2}}\text{ }w=T(v).
Sea w=\left( \begin{array}{rr} w1 & w2 \\ w3 & w4 \end{array} \right)\in {{M}_{2\times 2}} y v=a{{x}^{2}}+bx+c\in {{P}_{2}}; luego:
T(a{{x}^{2}}+bx+c)=\left( \begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\ a-2b+c & 2a-4b+2c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{rr} w1 & w2 \\ w3 & w4 \end{array} \right),
lo que implica resolver el sistema:
\left\{ \begin{array}{rcl}{a+b+c}&=&{w1} \\ {2a-b+2c}&=&{w2} \\ {a-2b+c}&=&{w3} \\ {2a-4b+2c}&=&{w4} \end{array}\right.\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\ 2 & -1 & 2 & {{w}_{2}} \\ 1 & -2 & 1 & {{w}_{3}} \\ 2 & -4 & 2 & {{w}_{4}} \end{array} \right) \sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\ 0 & -3 & 0 & {{w}_{2}}-2{{w}_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}} \end{array} \right).
El sistema es consistente solo si {{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}}=0 y {{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}}=0 ; por lo cual no cualquier vector w posee un respectivo v tal que T(v)=w. T no es sobreyectiva.
Biyectividad y Espacios Isomorfos
Definición. Sea la transformación lineal T{:}\ V\rightarrow W. T es biyectiva si y solo si T es inyectiva y sobreyectiva.
Una transformación lineal es invertible si y solo si es biyectiva. Una transformación biyectiva recibe el nombre de Isomorfismo.
Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales, se denominan espacios isomorfos si y solo si se puede construir un isomorfismo (biyección) entre V y W.
Composición
Definición. Sean las transformaciones lineales {T}_{1}{:}\ V\rightarrow W, y {T}_{2}{:}\ W\rightarrow Z, entonces la composición de T2 con T1 es la función {{T}_{2}}o{{T}_{1}}:V\to Z tal que {{T}_{2}}o{T}_{1}={{T}_{2}}[{{T}_{1}}(v)], \forall v\in V.
La composición de T2 con T1, {{T}_{2}}o{{T}_{1}} es posible solo si el recorrido de T1 es subconjunto del dominio de T2.
Ejemplo. Sean las transformaciones lineales {{T}_{1}}:{{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\to {{P}_{2}} y {{T}_{2}}:{{P}_{2}}\to {{M}_{2\times 2}} definidas por: {{T}_{1}}(a,b,c)=(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c, y {T}_{2}(a{{x}^{2}}+bx+c) = \left( \begin{array}{rr} a+b & b+2c \\ a-c & 2a+2c \end{array} \right). Determine, de ser posible, las composiciones {{T}_{1}}o{{T}_{2}} y {{T}_{2}}o{{T}_{1}}.
Solución
La composición {{T}_{1}}o{{T}_{2}} no es posible porque el recorrido de {{T}_{2}} no es un subconjunto del dominio de {{T}_{1}}. Por otra parte, la composición {{T}_{2}}o{{T}_{1}} es posible de efectuar:
{{T}_{2}}o{{T}_{1}}={{T}_{2}}({{T}_{1}})={{T}_{2}}([(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c])
=\left( \begin{array}{rr} (a-c)+(b+c) & (b+c)+2c \\ (a-c)-c & 2(a-c)+2c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} a+b & b+3c \\ a-2c & 2a \end{array} \right)
Es decir:
{{T}_{2}}o{{T}_{1}}(a,b,c)=\left( \begin{array}{rr} a+b & b+3c \\ a-2c & 2a \end{array} \right).
Transformación Identidad
Definición. Sea V un espacio vectorial, y sea la transformación lineal {I}_{V}{:}\ V\rightarrow V, {I}_{V} es la transformación Identidad en V si y solo si {{I}_{V}}(v)=v, \forall v\in V.
Transformación Inversa
Definición. Sea T:V\to W un isomorfismo (es decir, una transformación lineal biyectiva). Entonces, T es invertible y existe su transformación inversa {{T}^{-1}}:W\to V tal que: {{T}^{-1}}oT={{I}_{V}}, y To{{T}^{-1}}={{I}_{W}}.
Ejemplo. Sea el isomorfismo T:{{S}_{2\times 2}}\to {{P}_{2}} tal que T\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right) = (a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c). Determine su transformación inversa.
Solución
El procedimiento refleja los pasos que se sigue para hallar la transformación inversa de una función de variable real, tomamos la regla de correspondencia T(v) y la igualamos a un elemento típico del espacio de llegada, w = T(v). «Despejamos» v en función de w, y un cambio de variable final nos aclara sobre la regla de correspondencia de la inversa:
Sea w={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}} un vector típico arbitrario del espacio de llegada. Entonces:
(a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}.
Esta igualdad implica resolver el siguiente sistema:
\left\{ \begin{array}{rcl} a+b+c={{k}_{2}} \\ -b-c={{k}_{1}} \\ -b+c={{k}_{0}} \end{array} \right.
\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{k}_{2}} \\ 0 & -1 & -1 & {{k}_{1}} \\ 0 & -1 & 1 & {{k}_{0}} \end{array} \right)\tilde{\ }...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & {{k}_{2}}+{{k}_{1}} \\ 0 & 2 & 0 & -{{k}_{1}}-{{k}_{0}} \\ 0 & 0 & 2 & {{k}_{0}}-{{k}_{1}} \end{array} \right).
Es decir, a={{k}_{2}}+{{k}_{1}}, b=(-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2 y c=({{k}_{0}}-{{k}_{1}})/2.
Si originalmente la transformación T tiene la forma:
T\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}},
La inversa tiene la forma:
{{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right).
Reemplazando las expresiones halladas al resolver el sistema lineal, se tiene:
{{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\left( \begin{array}{rr} {{k}_{2}}+{{k}_{1}} & (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2 \\ (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2 & ({{k}_{0}}-{{k}_{1}})/2 \end{array} \right),
que es la regla de correspondencia de la inversa de T.
