cl3-02. Inyectividad, sobreyectividad, composición e inversa

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En cuanto funciones, las transformaciones lineales pueden tener la cualidad de inyectiva, sobreyectiva, pueden componerse bajo ciertas condiciones y, si son biyectivas pueden invertirse.

Inyectividad

Definición. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformación lineal $T{:}\ V\rightarrow W$. T es inyectiva si y solo si se satisface la siguiente condición:

$\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{    }{{v}_{1}}\ne {{v}_{2}}\Rightarrow T({{v}_{1}})\ne T({{v}_{2}})$.

La contrapositiva de esta expresión (equivalente) suele utilizarse en las demostraciones:

$\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in V\text{    }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\text{ }\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}$.

Ejemplo. Sea la transformación lineal $T:{{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\to {{P}_{2}}$ definida por $T(a,b)=(a-2b){{x}^{2}}+(2a+b)x+(-a+3b)$. Determine si T es inyectiva.

Solución
Se determinará si T cumple con $\forall {{v}_{1}},{{v}_{2}}\in {{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\text{ }T({{v}_{1}})=T({{v}_{2}})\text{ }\Rightarrow {{v}_{1}}={{v}_{2}}$.

Sean ${{v}_{1}}=({{a}_{1}},{{b}_{1}})$ y ${{v}_{2}}=({{a}_{2}},{{b}_{2}})$ dos elementos arbitrarios de R2 tales que:
$T({{a}_{1}},{{b}_{1}})=({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}})$, y
$T({{a}_{2}},{{b}_{2}})=({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})$

Si suponemos el antecedente verdadero, la siguiente expresión es verdadera:
$({{a}_{1}}-2{{b}_{1}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{1}}+{{b}_{1}})x+(-{{a}_{1}}+3{{b}_{1}})=$
$({{a}_{2}}-2{{b}_{2}}){{x}^{2}}+(2{{a}_{2}}+{{b}_{2}})x+(-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}})$

Lo que implica resolver el siguiente sistema

$\left\{ \begin{array}{rcl}{{a}_{1}}-2{{b}_{1}}&=&{{a}_{2}}-2{{b}_{2}} \\ 2{{a}_{1}}+{{b}_{1}}&=&2{{a}_{2}}+{{b}_{2}} \\ -{{a}_{1}}+3{{b}_{1}}&=&-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}} \end{array}\right.$ $\left(\begin{array}{rr|r} 1 & -2 & {{{a}_{2}}-2{{b}_{2}}} \\ 2 & 1 & {2{{a}_{2}}+{{b}_{2}}} \\ -1 & 3 & {-{{a}_{2}}+3{{b}_{2}}} \end{array} \right) \sim ...\left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & {{a}_{2}} \\ 0 & 1 & {{b}_{2}} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

Se observa que ${{b}_{1}}={{b}_{2}}$ y ${{a}_{1}}={{a}_{2}}$. En consecuencia, ${{v}_{1}}={{v}_{2}}$ y la transformación dada es inyectiva.

Sobreyectividad

Definición. Sean $V$ y $W$ espacios vectoriales cualesquiera. Sea la transformación lineal $T{:}\ V\rightarrow W$. T es sobreyectiva si y solo si se satisface la siguiente condición:

$\forall w\in W\text{ }\exists v\in V\text{  }w=T(v)$.

Ejemplo. Sea la transformación lineal $T:{{P}_{2}}\to {{M}_{2\times 2}}$ definida por $T(a{{x}^{2}}+bx+c) = \left( \begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\ a-2b+c & 2a-4b+2c \end{array} \right)$. Determine si T es sobreyectiva.

Solución

Se determinará si se cumple que $\forall w\in {{M}_{2\times 2}}\text{ }\exists v\in {{P}_{2}}\text{ }w=T(v)$.

Sea $w=\left( \begin{array}{rr} w1 & w2 \\ w3 & w4 \end{array} \right)\in {{M}_{2\times 2}}$ y $v=a{{x}^{2}}+bx+c\in {{P}_{2}}$; luego:

$T(a{{x}^{2}}+bx+c)=$

$\left( \begin{array}{rr} a+b+c & 2a-b+2c \\ a-2b+c & 2a-4b+2c \end{array}\right) = \left( \begin{array}{rr} w1 & w2 \\ w3 & w4 \end{array} \right)$,

lo que implica resolver el sistema:

$\left\{ \begin{array}{rcl}{a+b+c}&=&{w1} \\ {2a-b+2c}&=&{w2} \\ {a-2b+c}&=&{w3} \\ {2a-4b+2c}&=&{w4} \end{array}\right.$

$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\ 2 & -1 & 2 & {{w}_{2}} \\ 1 & -2 & 1 & {{w}_{3}} \\ 2 & -4 & 2 & {{w}_{4}} \end{array} \right) \sim ...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{w}_{1}} \\ 0 & -3 & 0 & {{w}_{2}}-2{{w}_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & {{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}} \end{array} \right)$.

El sistema es consistente solo si ${{w}_{3}}-{{w}_{2}}+{{w}_{1}}=0$ y ${{w}_{4}}-2{{w}_{2}}+2{{w}_{1}}=0$ ; por lo cual no cualquier vector w posee un respectivo v tal que T(v)=w. T no es sobreyectiva.

Biyectividad y Espacios Isomorfos

Definición. Sea la transformación lineal $T{:}\ V\rightarrow W$. T es biyectiva si y solo si T es inyectiva y sobreyectiva.

 Una transformación lineal es invertible si y solo si es biyectiva. Una transformación biyectiva recibe el nombre de Isomorfismo.

Definición. Sean V y W dos espacios vectoriales, se denominan espacios isomorfos si y solo si se puede construir un isomorfismo (biyección) entre V y W.

Composición

Definición. Sean las transformaciones lineales ${T}_{1}{:}\ V\rightarrow W$, y ${T}_{2}{:}\ W\rightarrow Z$, entonces la composición de T2 con T1 es la función ${{T}_{2}}o{{T}_{1}}:V\to Z$ tal que ${{T}_{2}}o{T}_{1}={{T}_{2}}[{{T}_{1}}(v)]$, $\forall v\in V$.

 La composición de T2 con T1, ${{T}_{2}}o{{T}_{1}}$ es posible solo si el recorrido de T1 es subconjunto del dominio de T2.

Ejemplo. Sean las transformaciones lineales ${{T}_{1}}:{{\mathsf{\mathbb{R}}}^{2}}\to {{P}_{2}}$ y ${{T}_{2}}:{{P}_{2}}\to {{M}_{2\times 2}}$ definidas por:
${{T}_{1}}(a,b,c)=(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c$, y
${T}_{2}(a{{x}^{2}}+bx+c) = \left( \begin{array}{rr} a+b & b+2c \\ a-c & 2a+2c \end{array} \right)$. 
Determine, de ser posible, las composiciones ${{T}_{1}}o{{T}_{2}}$ y ${{T}_{2}}o{{T}_{1}}$.

Solución

La composición ${{T}_{1}}o{{T}_{2}}$ no es posible porque el recorrido de ${{T}_{2}}$ no es un subconjunto del dominio de ${{T}_{1}}$. Por otra parte, la composición ${{T}_{2}}o{{T}_{1}}$ es posible de efectuar:

${{T}_{2}}o{{T}_{1}}={{T}_{2}}({{T}_{1}})={{T}_{2}}([(a-c){{x}^{2}}+(b+c)x+c])$
$=\left( \begin{array}{rr} (a-c)+(b+c) & (b+c)+2c \\ (a-c)-c & 2(a-c)+2c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{rr} a+b & b+3c \\ a-2c & 2a \end{array} \right)$

Es decir:

${{T}_{2}}o{{T}_{1}}(a,b,c)=\left( \begin{array}{rr} a+b & b+3c \\ a-2c & 2a \end{array} \right)$.

Transformación Identidad

Definición. Sea V un espacio vectorial, y sea la transformación lineal ${I}_{V}{:}\ V\rightarrow V$, ${I}_{V}$ es la transformación Identidad en V si y solo si ${{I}_{V}}(v)=v$, $\forall v\in V$.

Transformación Inversa

Definición. Sea $T:V\to W$ un isomorfismo (es decir, una transformación lineal biyectiva). Entonces, T es invertible y existe su transformación inversa ${{T}^{-1}}:W\to V$ tal que:
${{T}^{-1}}oT={{I}_{V}}$, y $To{{T}^{-1}}={{I}_{W}}$.

Ejemplo. Sea el isomorfismo $T:{{S}_{2\times 2}}\to {{P}_{2}}$ tal que $T\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right) = (a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c)$. Determine su transformación inversa.

Solución

El procedimiento refleja los pasos que se sigue para hallar la transformación inversa de una función de variable real, tomamos la regla de correspondencia T(v) y la igualamos a un elemento típico del espacio de llegada, w = T(v). «Despejamos» v en función de w, y un cambio de variable final nos aclara sobre la regla de correspondencia de la inversa:

Sea $w={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}$ un vector típico arbitrario del espacio de llegada. Entonces:

$(a+b+c){{x}^{2}}+(-b-c)x+(-b+c)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}$.

Esta igualdad implica resolver el siguiente sistema:
$\left\{ \begin{array}{rcl} a+b+c={{k}_{2}} \\ -b-c={{k}_{1}} \\ -b+c={{k}_{0}} \end{array} \right.$

$\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 1 & {{k}_{2}} \\ 0 & -1 & -1 & {{k}_{1}} \\ 0 & -1 & 1 & {{k}_{0}} \end{array} \right)\tilde{\ }...\left( \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & {{k}_{2}}+{{k}_{1}} \\ 0 & 2 & 0 & -{{k}_{1}}-{{k}_{0}} \\ 0 & 0 & 2 & {{k}_{0}}-{{k}_{1}} \end{array} \right)$.

Es decir, $a={{k}_{2}}+{{k}_{1}}$, $b=(-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2$ y $c=({{k}_{0}}-{{k}_{1}})/2$.

Si originalmente la transformación T tiene la forma:
$T\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right)={{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}}$,
La inversa tiene la forma:
${{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\left( \begin{array}{rr} a & b \\ b & c \end{array} \right)$.

Reemplazando las expresiones halladas al resolver el sistema lineal, se tiene:
${{T}^{-1}}({{k}_{2}}{{x}^{2}}+{{k}_{1}}x+{{k}_{0}})=\left( \begin{array}{rr} {{k}_{2}}+{{k}_{1}} & (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2 \\ (-{{k}_{1}}-{{k}_{0}})/2 & ({{k}_{0}}-{{k}_{1}})/2 \end{array} \right)$,

que es la regla de correspondencia de la inversa de T.