Ejercicio: 2Eva2026PAOI_T1 Volumen de sillón giratorio
El volumen para cada segmento se calcula mediante:
V = \int_a^b \pi \left( f(x) \right)^2 dx0 ≤ x ≤ 0.2
f_2 (x) = - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (x-0.2) \right)+ 0.40990.2 < x ≤ 0.34
f_3 (x)=0.15 e^{1.95(x-0.34)}+0.061040.34 < x ≤ 0.64
g(x)=1-e^{-2.01(x-0.44)}0.44 < x ≤ 0.64
literal a
Integrar con cuadratura de Gauss, intervalo 0 ≤ x ≤ 0.2
V_1 = \int_a^b \pi \left( 0.05 e^{10.52x} \right)^2 dx f_1(x) = \pi 0.05 e^{2(10.52)x}x_a = \frac{0.2+0}{2} - \frac{0.2-0}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 0.04226
x_b = \frac{0.2+0}{2} + \frac{0.2-0}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right) =0.1577 f_1(x_a) = \pi 0.05 e^{2(10.52)(0.04226)} = 0.01911 f_1(x_b) = \pi0.05 e^{2(10.52)(0.1577)} = 0.2169 I \cong \frac{0.2-0}{2}(0.01911 + 0.2169) =0.02360literal b
Integrar con Simpson 1/3, intervalo 0.2 < x ≤ 0.34
V_2 = \int_a^b \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (x-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2 dx f_2(x) = \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (x-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2con al menos 3 tramos en el intervalo, pero se necesita que sean múltiplos de 2. Por lo que se usan 4 tramos.
h = (0.34 - 0.2)/4 = 0.035
xi = [0.2, 0.235, 0.27, 0.305, 0.34]
f_2(0.2) = \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (0.2-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2 = 0.5279 f_2(0.235)= \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (0.235-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2 =0.3594 f_2(0.27) = \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (0.27-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2=0.2395 f_2(0.305) = \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (0.305-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2=0.1687 f_2(0.34) = \pi \left( - 0.2 \sin \left(\frac{10}{3} \pi (0.34-0.2) \right)+ 0.4099 \right)^2=0.1399 V_2 = \frac{0.035}{3} \left( 0.5279 + 4 (0.3594) + 0.2395 \right) + + \frac{0.035}{3} \left( 0.2395 + 4 (0.1687) + 0.1399 \right) = 0.03803literal c
Integrar con Simpson 3/8, intervalo 0.34 < x ≤ 0.64
V_3 = \int_a^b \pi \left( 0.15 e^{1.95(x-0.34)}+0.06104\right)^2 dx f_3(x) = \pi \left( 0.15 e^{1.95(x-0.34)}+0.06104 \right)^2con al menos 3 tramos en el intervalo, si se alcanza para usar un segmento de 3 tramos.
h = (0.64-0.34)/3 = 0.1
xi = [0.34, 0.44, 0.54, 0.64]
f_3(0.34) = \pi \left( 0.15 e^{1.95(0.34-0.34)}+0.06104 \right)^2 =0.1399 f_3(0.44) = \pi \left( 0.15 e^{1.95(0.44-0.34)}+0.06104 \right)^2=0.1860 f_3(0.54) = \pi \left( 0.15 e^{1.95(0.54-0.34)}+0.06104 \right)^2=0.2508 f_3(0.54) = \pi \left( 0.15 e^{1.95(0.64-0.34)}+0.06104 \right)^2=0.3427 V_3 = \frac{3}{8} (0.1)\left( 0.1399 + 3 (0.1860) + 3(0.2508)+0.3427 \right) =0.06724literal d
Se puede seleccionar cualquiera de los métodos numéricos.
intervalo 0.44 < x ≤ 0.64. Por ejemplo, trapecios:
con al menos 2 tramos en el intervalo, se puede usar dos trapecios.
h = (0.64-0.44)/2 = 0.1
xi = [0.44,0.54,0.64]
g(0.44) = \pi \left( 1-e^{ -2.01 (0.44-0.44)}\right) ^2 = 0 g(0.54) = \pi \left( 1-e^{-2.01( 0.54-0.44)}\right)^2 = 0.1041 g(0.64) = \pi \left( 1-e^{-2.01( 0.64-0.44)}\right)^2 = 0.3442 V_4 = 0.1 \left( \frac{0+0.1041}{2}\right) + 0.1 \left(\frac{0.1041+0.3442}{2}\right)=0.02762literal e
La cota de error para cada segmento es:
0 ≤ x ≤ 0.2 ; Error ≅ f(4)(x ), Observaciones al realizar la gráfica con algoritmo en literal g
0.2 < x ≤ 0.34 ; Error O(h5/90)=(0.0355/90)=5.8357e-10
0.34 < x ≤ 0.64 ; Error O(3h5/80)=(3(0.1)5/80)=3.75e-7
0.44 < x ≤ 0.64 ; Error O(h3/12)=((0.1)3/12)=8.33e-5
literal f
Volumen total del sillón
V_{sillon} = V_1 + V_2 + V3 - V_4 = 0.02360 + 0.03803 + 0.06724 - 0.02762 =0.1012literal g
Usando el algoritmo de cuadratura de Gauss básico, actualizando la función, intervalo y tramos a 1:
Factores Gauss-Legendre puntos: 2
xgl: [-0.57735 0.57735]
cgl: [1.0, 1.0]
tabla por intervalos [a,b]
[a,b] : [0. 0.2]
xi : [0.04226 0.15774]
fi : [0.01911 0.21697]
area : 0.02360826289510036
Integral: 0.02360826289510036
Al observar la gráfica, se podría intentar hacer el integral con mas segmentos usando el algoritmo y mejorar la precisión del resultado.
Factores Gauss-Legendre puntos: 2
xgl: [-0.57735 0.57735]
cgl: [1.0, 1.0]
tabla por intervalos [a,b]
[a,b] : [0. 0.1]
xi : [0.02113 0.07887]
fi : [0.01225 0.04128]
area : 0.00267660576897996
[a,b] : [0.1 0.2]
xi : [0.12113 0.17887]
fi : [0.10045 0.33846]
area : 0.021945223062764193
Integral: 0.02462182883174415
Algoritmo en Python
# Integración: Cuadratura de Gauss de 2 puntos
# modelo con varios tramos entre [a,b]
import numpy as np
# INGRESO
fx = lambda x: np.pi*(0.05*np.exp(10.52*x))**2
a = 0 # intervalo de integración
b = 0.2
tramos = 1 # subintervalos a integrar
precision = 5 # decimales en tabla
# PROCEDIMIENTO
# cuadratura de 2 puntos
n_puntos = 2
xgl = np.array([-1/np.sqrt(3), 1/np.sqrt(3)],dtype=float)
cgl = [1.,1.]
# cuadratura de n_puntos, fórmulas Gauss-Legendre
#xgl, cgl = np.polynomial.legendre.leggauss(2)
x_h = np.linspace(a,b,tramos+1)
tabla = {}
suma = 0
for k in range(0,tramos,1):
a = x_h[k]
b = x_h[k+1]
centro = (a+b)/2
mitad = (b-a)/2
xa = centro + xgl[0]*mitad
xb = centro + xgl[1]*mitad
area = ((b-a)/2)*(cgl[0]*fx(xa) + cgl[1]*fx(xb))
tabla[k]= {'[a,b]': np.array([a,b]),
'xi': np.array([xa,xb]),
'fi': np.array([fx(xa),fx(xb)]),
'area':area
}
suma = suma + area
# SALIDA
np.set_printoptions(precision)
print('Factores Gauss-Legendre puntos:',n_puntos)
print('xgl:',xgl)
print('cgl:',cgl)
print('tabla por intervalos [a,b]')
for k in range(0,tramos,1):
for entrada in tabla[k]:
print(entrada,':',tabla[k][entrada])
print('Integral: ', suma)