Ejercicio: 1Eva2026PAOI_T3 Drone en zona de desastre

las coordenadas posibles para el ejercicio son:

xi = [4.04, 4.17, 4.39, 4.77, 5.14, 5.32, 6.87, 6.87, 7.58, 8.03, 8.25, 8.60, 8.96, 9.86]
yi = [5.85, 9.94, 3.90, 2.43, 7.70, 9.52, 7.65, 3.55, 2.94, 7.56, 3.81, 6.31, 4.99, 9.32]

literal a. Planteamiento

Si selecciona los puntos: primero y último con dos puntos intermedios se obtendrán 4 puntos para un polinomio de grado 3.

p(x) = a + b x + cx²+d

Siguiendo el modelo de Vandermonde, se escribe el término de mayor grado primero.

p(x) = a x³ + b x² + cx+d

Por ejemplo, para los pares ordenados:

xi = [4.04, 5.32, 6.87, 9.86]
fi = [5.85, 9.52, 7.65, 9.32]

literal b. Método de Lagrange

Siguiendo el método de Lagrange, se obtendría el polinomio:

p(x) = 5.85\frac{(x-5.32)(x-6.87)(x-9.86)}{(4.04-5.32)(4.04-6.87)(4.04-9.86)}+ +9.52\frac{(x-4.04)(x-6.87)(x-9.86)}{(5.32-4.04)(5.32-6.87)(5.32-9.86)}+ +7.65\frac{(x-4.04)(x-5.32)(x-9.86)}{(6.87-4.04)(6.87-5.32)(6.87-9.86)}+ +9.32\frac{(x-4.04)(x-5.32)(x-6.87)}{(9.86-4.04)(9.86-5.32)(9.86-6.87)}+

literal c. Polinomio simplificado

Simplificando las expresiones con el algoritmo:

p(x) = 0.31412 x^3 - 6.5377x^2 + 43.2911x - 83.0535

La gráfica del polinomio se muestra a continuación.

Usando el algoritmo se obtiene:

[4.04 5.32 6.87 9.86]
[5.85 9.52 7.65 9.32]
    valores de fi:  [5.85 9.52 7.65 9.32]
divisores en L[i]:  [-21.082368   9.00736  -13.115635  79.004172]

Interpolación Lagrange
1.05691345743925*(x - 9.86)*(x - 6.87)*(x - 4.04) +
0.117968453615336*(x - 6.87)*(x - 5.32)*(x - 4.04) +
-0.277483060726385*(x - 9.86)*(x - 6.87)*(x - 5.32) +
-0.583273322260036*(x - 9.86)*(x - 5.32)*(x - 4.04)

Polinomio de Lagrange: 
0.314125528068165*x**3 - 6.53770577033544*x**2 + 43.2911387961625*x - 83.0535883598156
p(x):
                   3                     2                                    
0.314125528068165⋅x  - 6.53770577033544⋅x  + 43.2911387961625⋅x - 83.0535883598156

Literal d. otra trayectoria con algoritmo

Se deja como tarea junto a las preguntas literal e del ejercicio.