Sea f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_{3}(t),\cdots ,f_{n}(t)) \in \mathbb{R}^n una funcion vectorial, su derivada esta dada por:
{f}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{f(t+h)-f(t)}{h}Que a su vez es:
{f}'(t) = \left ( \lim_{h \to 0} \frac{f_1(t+h)-f_1(t)}{h}, \lim_{h \to 0} \frac{f_2(t+h)-f_2(t)}{h}, \cdots ,\lim_{h \to 0} \frac{f_n(t+h)-f_n(t)}{h} \right)La función es diferenciable en todos los puntos donde estos limites existan.
Sea f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_{3}(t),\cdots ,f_{n}(t)) \in \mathbb{R}^n una funcion vectorial de clase C^{1}, es decir que todas sus funciones componentes son clase C^{1}; se dice que f es una curva regular si {f}'(t) \neq 0.
Sea r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t)) una curva diferenciable en \mathbb{R}^n, su vector velocidad esta dado por la derivada: {r}'(t)=({r_1}'(t),{r_2}'(t),{r_{3}}'(t),\cdots ,{r_{n}}'(t))
Considerando el concepto de la derivada de una función vectorial, ocurre que el vector velocidad {r}'(t) es un vector perpendicular al vector posición r(t); esto a su vez implica que el vector velocidad {r}'(t) es un vector tangente a la curva, ver Figura 4.2.1.
Figura 4.2.1. Vector velocidad de una curva, por definición el vector es tangente a la curva en cada punto.
Sea r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t)) una curva diferenciable en \mathbb{R}^n, cuyo vector velocidad es {r}'(t)=({r_1}'(t),{r_2}'(t),{r_{3}}'(t),\cdots ,{r_{n}}'(t)) , la rapidez de la curva se define como el modulo de la velocidad.
\left \| {r}'(t)\ \right \| = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} {r_i}'(t)^{2} } = \sqrt{{r_1}'(t)^{2}+{r_2}'(t)^{2}+{r_{3}}'(t)^{2}+\cdots +{r_{n}}'(t)^{2}}Sea r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t)) una curva dos veces diferenciable en \mathbb{R}^n, su vector aceleración esta dado por la segunda derivada: {r}''(t)=({r_1}''(t),{r_2}''(t),{r_{3}}''(t),\cdots ,{r_{n}}''(t))
El vector velocidad y aceleración para cada punto de una curva se muestran en la Figura 4.2.2.
Figura 4.2.2. Vector velocidad y vector aceleración de una curva.