4.1. Parametrizaciones de trayectorias

Parametrización de una circunferencia de radio r y centro en (h,k), en sentido positivo.

r(t)=\left ( r \cos(t)+h,r \sin(t)+k \right ); 0\leqslant t\leq 2\pi

Aqui $t$ se recorre desde $0$ hasta $2\pi$ para formar una circunferencia completa, ver Figura 4.1.1.

Figura 4.1.1. Circunferencia parametrizada en orientación positiva.

Parametrización de una elipse con semieje horizontal a, semieje vertical b y centro en (h,k), en sentido positivo.

r(t)=\left ( a \cos(t)+h,b \sin(t)+k \right ); 0\leqslant t\leq 2\pi

Aqui $t$ se recorre desde $0$ hasta $2\pi$ para formar una elipse completa, ver Figura 4.1.2.

Figura 4.1.2. Elipse parametrizada en orientación positiva.

Parametrización de un segmento de recta en el plano o el espacio con punto inicial $\mathbf{P_{o}}$ y punto final $\mathbf{P_{f}}$ .

r(t) = P_{o}+\left ( P_{f}-P_{o} \right )t \; ;0\leq t\leq 1

El sentido de la curva esta dado por el punto inicial y final.

Figura 4.1.3. Segmentos de recta en el espacio y el plano.

Parametrización de una función continua de variable real en un intervalo $\mathbf{I \subseteq \mathbb{R}}$ .

f:\left [ a,b \right ] \rightarrow \mathbb{R} \mid y=f\left ( x \right ) ,o \: \: tambi \acute{e} n \: x=f\left ( y \right )

Se define al parámetro $t$ igual a la variable independiente, ya sea $x$ o $y$ .

En el caso $y=f\left ( x \right )$ , con $a \leq x \leq b$ se emplea $r(t) = \left ( t, f(t) \right ) \; ;a \leq t \leq b$

En el caso $x=f\left ( y \right )$ , con $c \leq y \leq d$ se emplea $r(t) = \left ( f(t), t \right ) \; ;c \leq t \leq d$

Esto a su vez define el sentido de recorrido en la curva: igual al de la variable independiente, ver Figura 4.1.4.

Figura 4.1.4. Curvas tipo función de varia real, el parámetro toma el valor de la variable independiente.

Una curva de ecuación $r=r\left ( \theta \right ) ; \theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2}$ , se puede parametrizar como:

r\left ( \theta \right ) =\left ( \; r \left ( \theta \right ) \cos(\theta), \; r \left ( \theta \right ) \sin(\theta) \right ) \; ; \theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2}

El recorrido de la curva es en el sentido de crecimiento de la variable $\theta$ , ver Figura 4.1.5.

Figura 4.1.5. Parametrización de una curva en coordenadas polares, el recorrido de la curva es con el ángulo.

r(t)=\left ( a \cos(t), a \sin(t), \frac{b}{2\pi}t \right ); 0\leqslant t\leq 2\pi

La hélice tiene radio $a$ , y cada vuelta se eleva un paso $b$ , ver Figura 4.1.6.

Figura 4.1.6. Hélice circula de radio a y paso b.

r\left ( t \right ) =\left ( \left ( a\cos(nt)+b\right )\cos(t), \left (a\cos(nt)+b\right )\sin(t),a\sin(nt) \right ) ; 0 \leq t<2\pi

La espiral tiene radio $a$ , da $n$ vuelta sobre la superficie toroidal de radio central $b$ , ver Figura 4.1.7.

Figura 4.1.7. Espira Toroidal, consiste en una espira que yace sobre una superficie toroidal (dona) dando una determinada cantidad de vueltas.

MATG1046 – Cálculo Vectorial