Sea \vec{F} : U \subset \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} un campo vectorial diferenciable, la divergencia de \vec{F} es el valor escalar:
div F= \nabla \cdot \vec{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x_{1}} ,\frac{\partial}{\partial x_{2}} , \cdots ,\frac{\partial}{\partial x_{n}} \right)\cdot \left( F_{1},F_{2} , \cdots , F_{n} \right)
div F = \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} + \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} + \cdots + \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}
Figura 4.6.1. Divergencia de un campo vectorial en cada punto.
De manera informal, entendamos el flujo de un campo vectorial sobre una curva como la «cantidad de flechas» del campo vectorial que salen menos la cantidad de flechas que entran en la curva y que para medir flujo requerimos del vector Normal unitario.
Para el caso de n=2, la divergencia representa el flujo por unidad de área (cuando el área tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto, ver Figura 4.6.2.
Para el caso de n=3, la divergencia representa el flujo por unidad de volumen (cuando el volumen tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto.
Figura 4.6.2. Sea A una región en el plano alrededor de un punto, la divergencia de un campo vectorial en ese punto se puede entender como el límite cuando un A tiende a cero, de la razón entre el flujo a través de A y el área encerrada por A.
Sea \vec{F} : U \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \mid \vec{F}= \left[ M,N, P \right] un campo vectorial diferenciable, el rotacional de \vec{F} es el campo vectorial:
rot F= \nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ M & N & P \end{vmatrix}
rot F= \nabla \times \vec{F} = \left[ \frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial z},- \left ( \frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial z} \right ), \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} \right]
Figura 4.6.3. El rotacional de un campo vectorial asocia un vector a cada punto donde esta definido el campo.
De manera informal, entendamos la circulación (o trabajo) de un campo vectorial sobre una curva como la suma de las «proyecciones tangentes» de las flechas del campo vectorial que sobre la curva y que para medir circulación requerimos proyectar sobre del vector Tangente unitario.
Cada componente del vector rotacional representa la circulación por unidad de área (cuando el área tiende a cero) que experimenta el campo vectorial en cada punto, ver Figura 4.6.4.
Figura 4.6.4. Cada componente del vector rotacional es la circulación por unidad de área (cuando el área tiende a cero); se considera áreas cuyos vectores normales apunten en dirección de cada eje.