Sea un curva regular $r:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t))$, la longitud de la curva desde $a$ hasta $b$ se define como:
$L=\int_{a}^{b}\left \| {r}'(t) \right \|dt$

La longitud de curva desde el valor inicial $a$ hasta un valor $t\in(a,b]$, se conoce como funcion longitud de curva:
$L(t)=\int_{a}^{t}\left \| {r}'(t) \right \|dt$

Sea $r(t)$ un curva regular dos veces diferenciable, parametrizada en la variable $t$, la curvatura en cada punto $t$ se define como:
$\kappa (t)=\frac{\left \| {r}'(t)\times{r}''(t) \right \|}{\left \| {r}'(t) \right \|^{3}}$

La curvatura es un escalar que mide la rapidez de como la curva se aleja de la recta tangente, mide cuanto la curva ‘se curva’ en cada punto.

Para ilustrarlo, considere el ángulo $\phi$ que forma el vector tangente unitario $T$ respecto al eje positivo X, ver Figura 4.4.1, este es el angulo que mide la dirección del vector velocidad de la curva.

La curvatura $\kappa$ mide la rapidez de la variación de la dirección $\phi$ del vector velocidad de la curva, es decir del vector ${r}'(t)$, el cual tiene la misma dirección que $T$; por lo cual la curvatura se puede expresar como:
$\kappa = \left | \frac{d\phi}{ds} \right |$

Donde $s$ es la longitud de arco de la curva, y se toma esta derivada para no depender de una parametrización en términos de $t$.

Para profundizar como parametrizar una curva respecto su longitud de arco, se recomienda visitar 4.4.1. Reparametrizaciones.

En los puntos donde la recta tangente se mantiene cerca de la curva, la curvatura es menor, pues el ángulo $\phi$ experimenta pequeños cambios.
En los puntos donde la recta tangente se mantiene lejos de la curva, la curvatura es mayor, pues el ángulo $\phi$ experimenta grandes cambios, véase la Figura 4.4.2.
La curvatura es nula cuando la recta tangente yace siempre sobre la curva, por ejemplo en una recta.

La curvatura de un circulo de radio $r$ es $\kappa=\frac{1}{r}$, entonces para alguna otra curva $r(t)$, un punto donde la $\kappa \neq 0$, es posible asociar una circunferencia tangente y con la misma curvatura, cuya radio es $r=\frac{1}{\kappa}$, y su centro en la dirección normal a la curva.

Sea $r(t)$ una curva dos veces diferenciable, y sea $r(t_{0})$ un punto de la curva donde $\kappa \neq 0$,se define al circulo osculador en $r(t_{0})$ con radio $R=\frac{1}{\kappa}$ y centro en el punto $r(t_{0})+RN$, siendo $N$ el vector normal unitario, ver Figura 4.4.3.

La curvatura es mas comprensible en curvas en el plano, sin embargo también existe en curvas en el espacio.

Sea $r(t)$ un curva regular tres veces diferenciable, parametrizada en la variable $t$, y tal que su curvatura es siempre diferente de cero, la torsión en cada punto $t$ se define como:
$\tau (t)=\frac{ \left( \; {r}'(t) \times {r}''(t) \; \right) \cdot {r}'''(t) }{\left \| {r}'(t) \times {r}''(t) \right \|^{2}}$

La torsión de una curva mide la rapidez con que una curva se aleja de su plano osculador.
Para ilustrarlo (de una manera informal) considere el angulo $\theta$ que el plano osculador forma respecto al plano XY, la torsión mide la rapidez con la que cambia el angulo $\theta$, ver Figura 4.4.4.

 

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4.1. Parametrizaciones de trayectorias

4.2.Velocidad, rapidez y aceleración de una curva

4.3. Vector Tangencial, Normal y Binormal, Planos asociados y componentes de la aceleración.

4.4. Longitud de arco, curvatura y torsión de curvas

4.4.1. Reparametrizaciones respecto a la longitud de arco

4.5. Funciones vectoriales de variable vectorial

4.6. Divergencia y Rotacional de un campo vectorial