Sea $f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_{3}(t),\cdots ,f_{n}(t)) \in \mathbb{R}^n$ una funcion vectorial, su derivada esta dada por:

Que a su vez es:

La función es diferenciable en todos los puntos donde estos limites existan.

Sea $f: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid f(t)=(f_1(t),f_2(t),f_{3}(t),\cdots ,f_{n}(t)) \in \mathbb{R}^n$ una funcion vectorial de clase $C^{1}$, es decir que todas sus funciones componentes son clase $C^{1}$; se dice que $f$ es una curva regular si ${f}'(t) \neq 0$.

Sea $r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t))$ una curva diferenciable en $\mathbb{R}^n$, su vector velocidad esta dado por la derivada: ${r}'(t)=({r_1}'(t),{r_2}'(t),{r_{3}}'(t),\cdots ,{r_{n}}'(t))$

Considerando el concepto de la derivada de una función vectorial, ocurre que el vector velocidad ${r}'(t)$ es un vector perpendicular al vector posición $r(t)$; esto a su vez implica que el vector velocidad ${r}'(t)$ es un vector tangente a la curva, ver Figura 4.2.1.

Figura 4.2.1. Vector velocidad de una curva, por definición el vector es tangente a la curva en cada punto.

Sea $r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t))$ una curva diferenciable en $\mathbb{R}^n$, cuyo vector velocidad es ${r}'(t)=({r_1}'(t),{r_2}'(t),{r_{3}}'(t),\cdots ,{r_{n}}'(t))$, la rapidez de la curva se define como el modulo de la velocidad.

Sea $r: I \subseteq \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n \mid r(t)=(r_1(t),r_2(t),r_{3}(t),\cdots ,r_{n}(t))$ una curva dos veces diferenciable en $\mathbb{R}^n$, su vector aceleración esta dado por la segunda derivada: ${r}''(t)=({r_1}''(t),{r_2}''(t),{r_{3}}''(t),\cdots ,{r_{n}}''(t))$

El vector velocidad y aceleración para cada punto de una curva se muestran en la Figura 4.2.2.

Figura 4.2.2. Vector velocidad y vector aceleración de una curva.