Sustitución trigonométrica

Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresión de la forma:

$\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}},\;\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}, \sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$

La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integración es más sencillo.

  1. El integrando contiene una función de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$
    Se hace el cambio de variable escribiendo

    $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta,}$donde $\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[\; y \;x\;\varepsilon \left]\frac{-a}{b}, \frac{a}{b}\right[$

    Si $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $dx = \frac{a}{b}\;cos\;\theta\;d\theta$

    Además:

    $\displaystyle {=\sqrt{a^{2}(1-sen^{2}\theta)} = \sqrt{a^{2}\;cos^{2}\theta} = \vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta,}$ pues $a > 0$ y como

    $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $cos\;\theta>0$ por lo que $\vert a\;cos\;\theta\vert = a\;cos\;\theta$

    Luego: $\displaystyle {\sqrt{a^{2} - b^{2}x^{2}} = a\;cos\;\theta}$

    Como $\displaystyle {x =\frac{a}{b}\;sen\;\theta}$ entonces $sen\;\theta = \frac{bx}{a} \; y\; \theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)$

    Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:

  2. El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}}}$ con $a>0\; , \;b>0$

    Hacemos un cambio de variable escribiendo $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta,}$ donde $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ y $x \varepsilon I\!\!R$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;tan\;\theta}$ entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec^{2}\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2} + b^{2} \cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\;tan^{2}\theta} = \sqrt{a^{2} + a^{2}\;tan^{2}\theta}}$

    $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = \sqrt{a^{2}(1+tan^{2}\theta )} = \sqrt{a^{2}\;sec^{2}\theta} = \vert a\;sec\;\theta\vert}$

    Como ${a>0}$ y $\displaystyle {\theta\; \varepsilon \left]\frac{-\Pi}{2}, \frac{\Pi}{2}\right[}$ entonces $\displaystyle {sen\;\theta = \frac{1}{cos\;\theta}}$ es positiva

    y por tanto $\displaystyle {\sqrt{a^{2} + b^{2}x^{2}} = a\;sec\;\theta}$

    Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:

  3.  El integrando contiene una expresión de la forma $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}- a^{2}}}$ con $a > 0$ y $b>0$
    En este caso la sustitución adecuada es:

    $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta,}$donde $\displaystyle {\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \;U\;\left]\pi, \frac{3\pi}{2} \right[}$

    y $\displaystyle {x\; \varepsilon \left]-\infty, \frac{-a}{b}\right[ \bigcup \left]\frac{a}{b}, +\infty, \right[, o\; sea \vert x\vert>\frac{a}{b}}$

    Si $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$ entonces $\displaystyle {dx = \frac{a}{b}\;sec\;\theta\;tan\;\theta\;d\theta}$

    Además $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2}-a^{2}} = \sqrt{b^{2}\cdot \frac{a^{2}}{b^{2}}\cdot sec^{2}\theta -a^{2}} = \sqrt{a^{2}(sec^{2}\theta-1)}}$

    de donde $\displaystyle {\sqrt{b^{2}x^{2} - a^{2}} = \sqrt{a^{2}\;tan^{2}\theta} = \vert a\;tan\;\theta\vert = a\;tan\;\theta,}$

    pues $a > 0$ y $tan\;\theta>0$ para $\theta \varepsilon \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ \bigcup \left]\pi, \frac{3\pi}{2}\right[$

    Como $\displaystyle {x = \frac{a}{b}\;sec\;\theta}$ entonces $\displaystyle {sec\;\theta = \frac{bx}{a}}$ por lo que $\displaystyle {\theta = arcsen\left(\frac{bx}{a}\right)}$

    Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:

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