Tema 5 |

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 5

A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.

Enunciado. Sea  $(V,+,\cdot,\mathbb{K})$  un espacio vectorial definido en el campo  $\mathbb{K}$ . Considere  $v_1,v_2,...,v_n$  vectores en  $V$ . Si  $S$  es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores  $v_1,v_2,...,v_n$ , se tiene lo siguiente:

Razonamiento 1
Razonamiento 2
Razonamiento 3

Razonamiento 1

Es verdadero que, si $\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0$ , entonces $\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}$ .

Razonamiento 2

Si $v,u \in S$ y existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$ tales que $\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}$ Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene que $v+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n$

Razonamiento 3

Por otra parte, Si $\delta \in \mathbb{K}$ y $v \in S$ se tiene nuevamente que existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ tales que $v=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n$ Como consecuencia de esto $\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n$

Tema 5

Razonamiento 1

Razonamiento 2

Razonamiento 3

Publicado por

Fernando Tenesaca