Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea VV un espacio vectorial definido sobre un campo K\mathbb{K} con producto interno ⟨⋅∣⋅⟩\langle \cdot|\cdot \rangle. Si A={v1,v2,...,vn}\mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto de vectores en VV, la matriz de Gram de A\mathcal{A} es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es MA=(aij)i,j=1nM_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1} tal que aij=⟨vi∣vj⟩a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle.

a. Si VV es el espacio vectorial C2\mathbb{C}^2, con las operaciones usuales y el producto interno ⟨(x1,y1)∣(x2,y2)⟩=x1xˉ2+y2yˉ2\langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2, determine la matriz de Gram de A={(1,i),(i,1)}\mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}.
b. Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:

i. Si VV es un espacio vectorial real, entonces MAM_{\mathcal{A}} es una matriz simétrica.
ii. Si A\mathcal{A} es una lista de vectores ortogonales, entonces su matriz de Gram es diagonal.

Publicado por

Fernando Tenesaca

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