Fernando Tenesaca

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 4

Considere la aplicación $T:M_2(\mathbb{R}) \longrightarrow M_2(\mathbb{R})$ , sobre el espacio de las matrices cuadradas de orden dos, definida por $T(A)=A-\frac{traza(A)}{2} I_2$ ( $I_2$ : Matriz identidad de orden dos).

a)	Verifique que $T$ es lineal.
b)	Determine el núcleo e imagen de $T$ .
c)	Determine la nulidad y el rango de $T$ .
d)	Indique si $T$ es un isomorfismo.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 3

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden tres con entradas reales y cuyos subespacios propios son $\begin{aligned} E_{\lambda_1}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} x-y+z&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix}\\ \\ E_{\lambda_2}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} -x-y+z&=0 \\ -2y&=0\end{aligned} \end{Bmatrix}\end{aligned}$ Determine:

a)	Una base para $E_{\lambda_1}$ .
b)	Una base para $E_{\lambda_2}$ .
c)	Si la matriz $A$ es diagonalizable.
d)	Si la matriz $A$ es diagonalizable ortogonalmente.
e)	El complemento ortogonal de $E_{\lambda_2}$ , considerando en $\mathbb{R}^3$ el producto interno canónico.

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 2

Considere el espacio vectorial real $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficiente reales. Se define el producto interno en $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ por $\langle p | q \rangle = a_1a_2+3b_1b_2+2c_1c_2$ , donde $p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2$ y $q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2$ .

a)	Determine si los polinomios $p(x)=1+x$ y $q(x)=x^2-x$ son ortogonales respecto a este producto interno.
b)	Calcule la proyección ortogonal del polinomio $p(x)=1+x+x^2$ sobre el polinomio $q(x)=1+x$ .
c)	Verifique que $B=\{ 1,x+1,x^2-1 \}$ es una base de $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ .
d)	Halle la matriz cambio de base, de la base canónica a la base $B$ (mencionada en el literal c).

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Tercera Evaluación | Tema 1

A continuación, se encuentran diez afirmaciones, indique cuáles de ellas son verdaderas rellenando el correspondiente círculo adjunto. Cada dos elecciones incorrectas eliminan una elección correcta

(V,+,\cdot)

es un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

v\in V

, entonces el subconjunto

S=\{ \lambda v : \lambda \in \mathbb{K} \}

es un subespacio vectorial de

V

\bigcirc

(V,+,\cdot)

es un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

se dice que el conjunto

B=\{ v_1,v_2,...,v_n \}

es una base de

V

si todo

v\in V

puede expresarse como combinación lineal de los elementos de

B

\bigcirc

Sean

u_1

u_2

dos vectores propios de la matriz

A

asociados al autovalor

\lambda

, entonces

u_1

u_2

deben ser linealmente independientes.

\bigcirc

T:V\longrightarrow W

es una transformación lineal sobreyectiva, entonces

V

W

deben tener la misma dimensión.

\bigcirc

El número de columnas linealmente independientes de una matriz es igual al número de filas (o renglones) linealmente independientes de la matriz.

\bigcirc

Sean

U

V

espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo

\mathbb{K}

. Si

B=\{ v_1,v_2,v_3 \}

es una base de

V

u_1,u_2\in U

, entonces existe una única transformación lineal

T:V\longrightarrow U

tal que

T(v_1)=u_1

T(v_2)=u_2

T(v_3)=0_U

\bigcirc

S

es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio vectorial

V

, sobre el que se ha definido un producto interno, entonces

S

es un conjunto linealmente independiente en

S

\bigcirc

Las columnas de una matriz cuadrada invertible

A

de orden

n

forman una base de

\mathbb{R}^n

\bigcirc

A

es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales.

\bigcirc

Sea

A

una matriz cuadrada de orden

5

, con valores propios diferentes

\lambda_1

\lambda_2

, entonces

A

es diagonalizable si y sólo si

dim(E_{\lambda_1}) + dim(E_{\lambda_2})=5

, donde

E_{\lambda_i}

denota el espacio propio asociado a

\lambda_i

tal que

i=1,2

\bigcirc

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 4

A continuación, se presentan dos enunciados que son verdaderos, escoja uno de ellos y demuéstrelo.

a)	Sean $V$ y $W$ dos espacios vectoriales ambos sobre un mismo campo $\mathbb{K}$ . Suponga que $V$ es de dimensión finita y $B=\{ v_1,v_2,...,v_n\}$ es una base de $V$ y $w_1,w_2, ..., w_n$ son vectores en $W$ , entonces existe una transformación lineal $T:V\longrightarrow W$ tal que $T(v_i)=w_i$ para cada $i=1,2,...,n$ .
b)	Sea $(V,\langle \cdot \| \cdot \rangle)$ un espacio vectorial con producto interno y sea $W$ el espacio generado por el conjunto ortonormal de vectores $\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ . El vector $v\in V$ pertenece a $W$ si, y sólo si, $u$ puede ser escribirse como $\langle u \| v_1 \rangle v_1+\langle u \| v_2 \rangle v_2 + ... + \langle u \| v_n \rangle v_n$

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 3

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrr} a&-2&0&0 \\ b&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}$ Determine de ser posible:

a)	Los valores de $a$ y $b$ para que $A$ sea una matriz diagonalizable ortogonalmente y $\lambda=-1$ sea un valor propio asociado al vector propio $\begin{pmatrix}\begin{array}{r} -3\\-3\\0\\0 \end{array}\end{pmatrix}$ de $A$ .
b)	Usando los valores de $a$ y $b$ encontrados, el polinomio característico de $A$ .
c)	Los espacios propios asociados a los valores propios de $A$ .
d)	Una base ortonormal de $\mathbb{R}^4$ conformada por los vectores de $A$

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 2

Considere $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, con coeficientes reales. Considere en $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ la aplicación $\langle \cdot | \cdot \rangle : \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \times \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$ definido por $\footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle = a_0b_0+4a_1b_1+2a_2b_2+a_3b_3}$

a)	Verifique que $\langle \cdot \| \cdot \rangle$ es un producto interno en $\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ .
b)	Para el operador en $T:\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{P}_3 (\mathbb{R})$ definido por $T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2$ , determine una base para la imagen de $T$ .
c)	Determine el complemento ortogonal del núcleo (o kernel) de $T$ .
d)	Encuentre la proyección ortogonal del vector $r(x)=1+x+2x^2+3x^3$ sobre el núcleo de $T$

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación, se presentan tres enunciados, cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquellas opciones correctas. No debe justificar su elección, pero debe analizar bien cada elección, pero debe analizar bien cada elección, dado que cada selección incorrecta restará $0.5$ puntos a la calificación del tema.

a.	Sean $T:V\longrightarrow W$ una transformación lineal entre los espacio vectoriales $V$ y $W$ . Entonces es cierto que:
$\bigcirc$	Si $dim(V) > dim(W)$ , entonces $T$ no es inyectiva.
$\bigcirc$	Si $dim(V) < dim(W)$ , entonces $T$ no es sobreyectiva.
$\bigcirc$	Si $B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es una base de $V$ , entonces $B_2=\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es una base de para la imagen de $T$ .
$\bigcirc$	Si $\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \}$ es linealmente independiente en $W$ , entonces $\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es linealmente independiente en $V$ .
$\bigcirc$	Si $T$ es un isomorfismo, entonces $dim(V)$ es igual al rango de $T$ .

b.	Si $u$ y $v$ son vectores ortogonales de un espacio $(V,\langle \cdot \| \cdot \rangle)$ con producto interno, entonces es cierto que:
$\bigcirc$	$\{ u,v \}$ es un conjunto linealmente independiente.
$\bigcirc$	${\lVert u+v \rVert }^2={\lVert u \rVert }^2 + {\lVert v \rVert }^2$
$\bigcirc$	Si $u$ y $v$ son no nulos, existe una base de $V$ que contenga a estos dos vectores.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ no pueden ser ortogonales.
$\bigcirc$	$u$ y $u+v$ son ortogonales si $u$ es no nulo.

c.	Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ con entradas en un campo $\mathbb{K}$ . Es cierto que:
$\bigcirc$	$A$ y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico.
$\bigcirc$	$A$ tiene $n$ autovectores linealmente independientes.
$\bigcirc$	Si $A$ tiene $n$ autovalores diferentes, entonces es diagonalizable.
$\bigcirc$	Si $A$ es diagonalizable, entonces debe ser una matriz simétrica.
$\bigcirc$	Si $A$ es una matriz simétrica, entonces todos sus valores propios son número reales.

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 4

Se define la función $T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2$ por $T(a)=(a-2,a)$ , entre los espacios vectoriales reales $(\mathbb{R},\oplus,\odot)$ y $(\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot)$ , cuyas operaciones están definida por: $\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}$ Determine, de ser posible:

a)	Si $T(a\oplus b)=T(a)\boxplus T(b), \forall a,b\in \mathbb{R}$ .
b)	Si $T(\lambda \odot a)=\lambda \boxdot T(a), \forall \lambda, a\in \mathbb{R}$ .
c)	El elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}$ .
d)	El elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}^2$ .
e)	La imagen del elemento neutro de la adición en $\mathbb{R}$ .
f)	Si $T$ es una transformación lineal.

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 2 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a $2$ , con entradas reales y las operaciones usuales. Sean $a$ un número real fijo, $B_1=\{1,x,x^2 \}$ la base canónica y $B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}$ .

a)	Verifique que $B_2$ es una base para $\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ .
b)	Determine la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ .