Considere la aplicación T:M_2(\mathbb{R}) \longrightarrow M_2(\mathbb{R}), sobre el espacio de las matrices cuadradas de orden dos, definida por T(A)=A-\frac{traza(A)}{2} I_2 (I_2: Matriz identidad de orden dos).
| a) | Verifique que T es lineal. |
| b) | Determine el núcleo e imagen de T. |
| c) | Determine la nulidad y el rango de T. |
| d) | Indique si T es un isomorfismo. |
Sea A una matriz cuadrada de orden tres con entradas reales y cuyos subespacios propios son\begin{aligned} E_{\lambda_1}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} x-y+z&=0 \end{aligned} \end{Bmatrix}\\ \\ E_{\lambda_2}&=\begin{Bmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^3 \ : \ \begin{aligned} -x-y+z&=0 \\ -2y&=0\end{aligned} \end{Bmatrix}\end{aligned}Determine:
| a) | Una base para E_{\lambda_1}. |
| b) | Una base para E_{\lambda_2}. |
| c) | Si la matriz A es diagonalizable. |
| d) | Si la matriz A es diagonalizable ortogonalmente. |
| e) | El complemento ortogonal de E_{\lambda_2}, considerando en \mathbb{R}^3 el producto interno canónico. |
Considere el espacio vectorial real \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) de los polinomios de grado menor o igual a dos con coeficiente reales. Se define el producto interno en \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) por \langle p | q \rangle = a_1a_2+3b_1b_2+2c_1c_2, donde p(x)=a_1+b_1x+c_1x^2 y q(x)=a_2+b_2x+c_2x^2.
| a) | Determine si los polinomios p(x)=1+x y q(x)=x^2-x son ortogonales respecto a este producto interno. |
| b) | Calcule la proyección ortogonal del polinomio p(x)=1+x+x^2 sobre el polinomio q(x)=1+x. |
| c) | Verifique que B=\{ 1,x+1,x^2-1 \} es una base de \mathcal{P}_2(\mathbb{R}). |
| d) | Halle la matriz cambio de base, de la base canónica a la base B (mencionada en el literal c). |
A continuación, se encuentran diez afirmaciones, indique cuáles de ellas son verdaderas rellenando el correspondiente círculo adjunto. Cada dos elecciones incorrectas eliminan una elección correcta
| a. | Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y v\in V, entonces el subconjunto S=\{ \lambda v : \lambda \in \mathbb{K} \} es un subespacio vectorial de V. | \bigcirc |
| b. | Si (V,+,\cdot) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} se dice que el conjunto B=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V si todo v\in V puede expresarse como combinación lineal de los elementos de B. | \bigcirc |
| c. | Sean u_1 y u_2 dos vectores propios de la matriz A asociados al autovalor \lambda , entonces u_1 y u_2 deben ser linealmente independientes. | \bigcirc |
| d. | Si T:V\longrightarrow W es una transformación lineal sobreyectiva, entonces V y W deben tener la misma dimensión. | \bigcirc |
| e. | El número de columnas linealmente independientes de una matriz es igual al número de filas (o renglones) linealmente independientes de la matriz. | \bigcirc |
| f. | Sean U y V espacios vectoriales definidos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Si B=\{ v_1,v_2,v_3 \} es una base de V y u_1,u_2\in U, entonces existe una única transformación lineal T:V\longrightarrow U tal que T(v_1)=u_1, T(v_2)=u_2 y T(v_3)=0_U. | \bigcirc |
| g. | Si S es un conjunto ortogonal de vectores en un espacio vectorial V, sobre el que se ha definido un producto interno, entonces S es un conjunto linealmente independiente en S. | \bigcirc |
| h. | Las columnas de una matriz cuadrada invertible A de orden n forman una base de \mathbb{R}^n. | \bigcirc |
| i. | Si A es una matriz cuadrada de entradas reales, entonces todos sus valores propios serán números reales. | \bigcirc |
| j. | Sea A una matriz cuadrada de orden 5, con valores propios diferentes \lambda_1 y \lambda_2, entonces A es diagonalizable si y sólo si dim(E_{\lambda_1}) + dim(E_{\lambda_2})=5, donde E_{\lambda_i} denota el espacio propio asociado a \lambda_i tal que i=1,2. | \bigcirc |
A continuación, se presentan dos enunciados que son verdaderos, escoja uno de ellos y demuéstrelo.
| a) | Sean V y W dos espacios vectoriales ambos sobre un mismo campo \mathbb{K}. Suponga que V es de dimensión finita y B=\{ v_1,v_2,...,v_n\} es una base de V y w_1,w_2, ..., w_n son vectores en W, entonces existe una transformación lineal T:V\longrightarrow W tal que T(v_i)=w_i para cada i=1,2,...,n. |
| b) | Sea (V,\langle \cdot | \cdot \rangle) un espacio vectorial con producto interno y sea W el espacio generado por el conjunto ortonormal de vectores \{ v_1,v_2,...,v_n \}. El vector v\in V pertenece a W si, y sólo si, u puede ser escribirse como \langle u | v_1 \rangle v_1+\langle u | v_2 \rangle v_2 + ... + \langle u | v_n \rangle v_n |
Dada la matriz A=\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrr} a&-2&0&0 \\ b&1&0&0 \\ 0&0&1&-2 \\ 0&0&-2&1 \end{array}\end{pmatrix}Determine de ser posible:
| a) | Los valores de a y b para que A sea una matriz diagonalizable ortogonalmente y \lambda=-1 sea un valor propio asociado al vector propio \begin{pmatrix}\begin{array}{r} -3\\-3\\0\\0 \end{array}\end{pmatrix} de A. |
| b) | Usando los valores de a y b encontrados, el polinomio característico de A. |
| c) | Los espacios propios asociados a los valores propios de A. |
| d) | Una base ortonormal de \mathbb{R}^4 conformada por los vectores de A |
Considere \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) el conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a tres, con coeficientes reales. Considere en \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) la aplicación \langle \cdot | \cdot \rangle : \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \times \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R} definido por \footnotesize{\langle a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 | b_0+b_1x+b_2x^2+b_3x^3 \rangle = a_0b_0+4a_1b_1+2a_2b_2+a_3b_3}
| a) | Verifique que \langle \cdot | \cdot \rangle es un producto interno en \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}). |
| b) | Para el operador en T:\mathcal{P}_3 (\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{P}_3 (\mathbb{R}) definido por T(p(x))=p(-1)+p(0)x^2, determine una base para la imagen de T. |
| c) | Determine el complemento ortogonal del núcleo (o kernel) de T. |
| d) | Encuentre la proyección ortogonal del vector r(x)=1+x+2x^2+3x^3 sobre el núcleo de T |
A continuación, se presentan tres enunciados, cada uno de los cuales tienen cinco posibles opciones de respuesta (más de una puede ser correcta en cada caso). Rellene el círculo de aquellas opciones correctas. No debe justificar su elección, pero debe analizar bien cada elección, pero debe analizar bien cada elección, dado que cada selección incorrecta restará 0.5 puntos a la calificación del tema.
| a. | Sean T:V\longrightarrow W una transformación lineal entre los espacio vectoriales V y W. Entonces es cierto que: |
| \bigcirc | Si dim(V) > dim(W), entonces T no es inyectiva. |
| \bigcirc | Si dim(V) < dim(W), entonces T no es sobreyectiva. |
| \bigcirc | Si B_1=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es una base de V, entonces B_2=\{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \} es una base de para la imagen de T. |
| \bigcirc | Si \{ T(v_1),T(v_2),...,T(v_n) \} es linealmente independiente en W, entonces \{ v_1,v_2,...,v_n \} es linealmente independiente en V. |
| \bigcirc | Si T es un isomorfismo, entonces dim(V) es igual al rango de T. |
| b. | Si u y v son vectores ortogonales de un espacio (V,\langle \cdot | \cdot \rangle) con producto interno, entonces es cierto que: |
| \bigcirc | \{ u,v \} es un conjunto linealmente independiente. |
| \bigcirc | {\lVert u+v \rVert }^2={\lVert u \rVert }^2 + {\lVert v \rVert }^2 |
| \bigcirc | Si u y v son no nulos, existe una base de V que contenga a estos dos vectores. |
| \bigcirc | u y u+v no pueden ser ortogonales. |
| \bigcirc | u y u+v son ortogonales si u es no nulo. |
| c. | Sea A una matriz cuadrada de orden n con entradas en un campo \mathbb{K}. Es cierto que: |
| \bigcirc | A y su transpuesta tienen el mismo polinomio característico. |
| \bigcirc | A tiene n autovectores linealmente independientes. |
| \bigcirc | Si A tiene n autovalores diferentes, entonces es diagonalizable. |
| \bigcirc | Si A es diagonalizable, entonces debe ser una matriz simétrica. |
| \bigcirc | Si A es una matriz simétrica, entonces todos sus valores propios son número reales. |
Se define la función T:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^2 por T(a)=(a-2,a), entre los espacios vectoriales reales (\mathbb{R},\oplus,\odot) y (\mathbb{R}^2,\boxplus,\boxdot), cuyas operaciones están definida por:\begin{aligned} a\oplus b &= a+b-1 , \forall a,b\in \mathbb{R}\\ k\odot a &= ka-k+1 , \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall a\in \mathbb{R} \\ (a_1,b_1)\boxplus (a_2,b_2) &= (a_1+a_2+1,b_1+b_2-1), \forall (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in \mathbb{R}^2 \\ k\boxdot(a,b) &= (ka+k-1,kb-k+1), \forall k\in \mathbb{K}\enspace \forall (a,b)\in \mathbb{R}^2 \end{aligned}Determine, de ser posible:
| a) | Si T(a\oplus b)=T(a)\boxplus T(b), \forall a,b\in \mathbb{R}. |
| b) | Si T(\lambda \odot a)=\lambda \boxdot T(a), \forall \lambda, a\in \mathbb{R}. |
| c) | El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}. |
| d) | El elemento neutro de la adición en \mathbb{R}^2. |
| e) | La imagen del elemento neutro de la adición en \mathbb{R}. |
| f) | Si T es una transformación lineal. |
Sea \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) el espacio vectorial real de todos los polinomios de grado menor o igual a 2, con entradas reales y las operaciones usuales. Sean a un número real fijo, B_1=\{1,x,x^2 \} la base canónica y B_2=\{ 1,x+a,(x+a)^2 \}.
| a) | Verifique que B_2 es una base para \mathcal{P}_2(\mathbb{R}). |
| b) | Determine la matriz de cambio de base de B_1 a B_2. |
