2019-2020 | - Part 3

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 2

Sea $T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R})$ una transformación lineal cuya regla de correspondencia es $T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c$ . Determine, de ser posible, los valores de $k$ tal que $T$ sea un isomorfismo.

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 5

Sea $V$ un espacio vectorial definido sobre un campo $\mathbb{K}$ con producto interno $\langle \cdot|\cdot \rangle$ . Si $\mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \}$ es un conjunto de vectores en $V$ , la matriz de Gram de $\mathcal{A}$ es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es $M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1}$ tal que $a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle$ .

V

es el espacio vectorial

\mathbb{C}^2

, con las operaciones usuales y el producto interno

\langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2

, determine la matriz de Gram de

\mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}

Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:

i.	Si $V$ es un espacio vectorial real, entonces $M_{\mathcal{A}}$ es una matriz simétrica.
ii.	Si $\mathcal{A}$ es una lista de vectores ortogonales, entonces su matriz de Gram es diagonal.

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Segunda Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.

A

B

son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces

A

B

son semejantes.

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\bigcirc

Sea

V

un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

, con producto interno

\langle \cdot|\cdot \rangle

. Si

S=\{ v_1,v_2,v_3 \}

es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces

S

es un conjunto linealmente independiente.

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\bigcirc

T:V \longrightarrow W

es una transformación lineal,

U

un subespacio de W, entonces

H=\{ v\in V : T(v) \in U \}

es un subespacio de

V

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\bigcirc

A

es una matriz cuadrada de orden

n

, entonces

A

es diagonalizable si y sólo si es simétrica.

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\bigcirc

Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que

x^2+4xy+y^2=9

corresponde a la ecuación de una elipse en el plano.

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\bigcirc

Tema 5

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 5

A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.

Enunciado. Sea  $(V,+,\cdot,\mathbb{K})$  un espacio vectorial definido en el campo  $\mathbb{K}$ . Considere  $v_1,v_2,...,v_n$  vectores en  $V$ . Si  $S$  es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores  $v_1,v_2,...,v_n$ , se tiene lo siguiente:

Razonamiento 1
Razonamiento 2
Razonamiento 3

Razonamiento 1

Es verdadero que, si $\alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0$ , entonces $\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}$ .

Razonamiento 2

Si $v,u \in S$ y existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n$ tales que $\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}$ Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene que $v+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n$

Razonamiento 3

Por otra parte, Si $\delta \in \mathbb{K}$ y $v \in S$ se tiene nuevamente que existen escalares $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ tales que $v=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n$ Como consecuencia de esto $\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n$

Tema 4

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 4

Se sabe que $W=(\mathbb{R}^2,+,\cdot)$ y $V=(\mathbb{R}^2,\oplus,\odot)$ son espacios vectoriales reales siendo $+$ y $\cdot$ las operaciones usuales en $\mathbb{R}^2$ ; además, $\oplus$ y $\odot$ las operaciones definidas por $\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c+1\\b+d \end{pmatrix}\qquad \alpha\odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a + \alpha -1\\\alpha b \end{pmatrix}$ Bajo estas condiciones, se define la función $T:V\longrightarrow W$ , definida por $T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ .

a.	Determine $T\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ , $T\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+T\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}$ .
b.	Determine $T\begin{pmatrix} \alpha \odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{pmatrix}$ y $\alpha \cdot T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}$ , si $\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \in V$ y $\alpha \in \mathbb{R}$ .
c.	¿Cuál es el elemento neutro de la adición en $V$ ?
d.	Si $\textbf{0}_{V}$ es el elemento neutro de $V$ . ¿ $T(\textbf{0}_{V})$ es igual al elemento neutro de $W$ ?
e.	¿ $T$ es una transformación lineal?

Tema 3

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 3

Sea $(P_2,+,\cdot)$ el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con las operacione usuales entre polinomios. Dadas las bases $B_1=\{ 1,1+x,(1+x)^2 \}\quad y \quad B_2=\{ 2-x,3,1+x^2 \}$

a.	Determine la matriz de cambio de base de $B_2$ a $B_1$ .
b.	Si $[p]_{B_{2}}=\begin{pmatrix} 10\\20\\30 \end{pmatrix}$ , determine $p$ y $[p]_{B_{1}}$ .
c.	Determinar, de ser posible, $\beta\in \mathbb{R}$ tal que el vector $q(x)=1+\beta(1+x)+(1+2x+x^2)$ satisfaga $[q]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}\begin{array}{r} 2\\-7\\1 \end{array} \end{pmatrix}$ .

Tema 2

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 2

Si $(\mathbb{R}^3,+,\cdot,\mathbb{R})$ es el espacio vectorial real con las operaciones usuales en $\mathbb{R}^3$ , considere el subconjunto $W$ formada por todos los vectores en $\mathbb{R}^3$ tal que la suma de sus componentes es igual a cero. Además, si $U$ es el subconjunto de $\mathbb{R}^3$ generado por el vector $(1,-1,0)$ .

a.	Verifique que el subconjunto $W$ es un subespacio de $\mathbb{R}^3$ .
b.	Determine el subespacio $U\cap W$ .
c.	¿Es $U\cup W$ un subespacio?
d.	Determine la dimensión del subespacio vectorial $U+W$ .

Tema 1

Examen | 2019-2020 | Término 1 | Primera Evaluación | Tema 1

A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando correspondientemente, si la afirmación es verdadera o falsa; en cada caso, justifique brevemente su respuesta.

El vector

(x,y,z)

pertenece al espacio columna de la matriz

A=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2&-4&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix}

sí, y solo sí,

x+2y=0

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\bigcirc

En el conjunto de los números complejos es cierto que

3i-8=i(3+i8)

. Esto significa que

3i-8

pertenece al subespacio de

(\mathbb{C},+,\cdot,\mathbb{R})

que es generado por el vector

3i+8

\bigcirc

\bigcirc

Dado un espacio vectorial

(V,+,\cdot,\mathbb{K})

, siempre podrán hallarse bases

B_1

B_2

V

tales que la matriz de cambio de base tenga nulidad diferente de cero.

\bigcirc

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Se conoce que las ternas

(1,1,1)

(-9,3,-1)

pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:

\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.

Entonces la terna

(-4,2,0)

también es una solución del sistema.

\bigcirc

\bigcirc

(V,+,\cdot,\mathbb{K})

es un espacio vectorial definido sobre un campo

\mathbb{K}

, sean

U

W

dos subespacios de

V

. Si

\{ u_1,u_2,...,u_n \}

\{ w_1,w_2,...,w_m \}

son bases de

U

W

respectivamente, entonces el conjunto

\{ u_1,u_2,...,u_n,w_1,w_2,...,w_m \}

es generador para el subespacio

U+W

\bigcirc

\bigcirc