Sea una transformación lineal cuya regla de correspondencia es . Determine, de ser posible, los valores de tal que sea un isomorfismo.
Categoría: Exámenes
Tema 5
Sea un espacio vectorial definido sobre un campo con producto interno . Si es un conjunto de vectores en , la matriz de Gram de es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es tal que .
a. | Si es el espacio vectorial , con las operaciones usuales y el producto interno , determine la matriz de Gram de . | ||||
b. | Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:
|
Tema 1
A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.
a. | Si y son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces y son semejantes. | V |
F |
b. | Sea un espacio vectorial definido sobre un campo , con producto interno . Si es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces es un conjunto linealmente independiente. | V |
F |
c. | Si es una transformación lineal, un subespacio de W, entonces es un subespacio de . | V |
F |
d. | Si es una matriz cuadrada de orden , entonces es diagonalizable si y sólo si es simétrica. | V |
F |
e. | Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que corresponde a la ecuación de una elipse en el plano. | V |
F |
Tema 5
A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.
Enunciado. Sea un espacio vectorial definido en el campo . Considere vectores en . Si es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores , se tiene lo siguiente:
- Razonamiento 1
- Razonamiento 2
- Razonamiento 3
Razonamiento 1
Es verdadero que, si , entonces .
Razonamiento 2
Razonamiento 3
Tema 4
Se sabe que y son espacios vectoriales reales siendo y las operaciones usuales en ; además, y las operaciones definidas porBajo estas condiciones, se define la función , definida por .
a. | Determine , . |
b. | Determine y , si y . |
c. | ¿Cuál es el elemento neutro de la adición en ? |
d. | Si es el elemento neutro de . ¿ es igual al elemento neutro de ? |
e. | ¿ es una transformación lineal? |
Tema 3
Sea el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con las operacione usuales entre polinomios. Dadas las bases
a. | Determine la matriz de cambio de base de a . |
b. | Si , determine y . |
c. | Determinar, de ser posible, tal que el vectorsatisfaga . |
Tema 2
Si es el espacio vectorial real con las operaciones usuales en , considere el subconjunto formada por todos los vectores en tal que la suma de sus componentes es igual a cero. Además, si es el subconjunto de generado por el vector .
a. | Verifique que el subconjunto es un subespacio de . |
b. | Determine el subespacio . |
c. | ¿Es un subespacio? |
d. | Determine la dimensión del subespacio vectorial . |
Tema 1
A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando correspondientemente, si la afirmación es verdadera o falsa; en cada caso, justifique brevemente su respuesta.
a. | El vector pertenece al espacio columna de la matrizsí, y solo sí, . | V |
F |
b. | En el conjunto de los números complejos es cierto que . Esto significa que pertenece al subespacio de que es generado por el vector . | V |
F |
c. | Dado un espacio vectorial , siempre podrán hallarse bases y de tales que la matriz de cambio de base tenga nulidad diferente de cero. | V |
F |
d. | Se conoce que las ternas y pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:Entonces la terna también es una solución del sistema. | V |
F |
e. | Si es un espacio vectorial definido sobre un campo , sean y dos subespacios de . Si y son bases de y respectivamente, entonces el conjunto es generador para el subespacio . | V |
F |
Tema 6
Considere el siguiente teorema:
Sea un espacio vectorial sobre un campo y sea un subconjunto de linealmente independiente. Si es un elemento tal que , entonces el conjunto es un conjunto linealmente independiente.
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.
En consecuencia es un conjunto linealmente independiente. | |
Lo cual contradice la elección de . | |
debe ser distinto de cero, de otro modo sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción. | |
Entonces existen elementos y escalares no todos iguales a cero, tales que . | |
Así . | |
Suponga que el conjunto es linealmente dependiente. |
Tema 5
Sea un espacio vectorial definido sobre un campo y sea un conjunto no vacío de . Demuestre que es un subespacio de si, y sólo si, para todo y .