Sea T:\mathbb{R}^3 \longrightarrow P_2(\mathbb{R}) una transformación lineal cuya regla de correspondencia es T(a,b,c)=(a+b+kc)x^2+(a-b)x+a-c. Determine, de ser posible, los valores de k tal que T sea un isomorfismo.
Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si \mathcal{A}=\{ v_1,v_2,...,v_n \} es un conjunto de vectores en V, la matriz de Gram de \mathcal{A} es la matriz de todos los productos internos de los vectores de esta lista. Esto es M_{\mathcal{A}}=(a_{ij})^n_{i,j=1} tal que a_{ij}=\langle v_i|v_j \rangle.
| a. | Si V es el espacio vectorial \mathbb{C}^2, con las operaciones usuales y el producto interno \langle (x_1,y_1)|(x_2,y_2) \rangle = x_1 \bar{x}_2 + y_2 \bar{y}_2, determine la matriz de Gram de \mathcal{A}=\{ (1,i),(i,1) \}. | ||||
| b. | Indique si son verdaderas o falsas cada una de las siguientes afirmaciones, justificando brevemente su respuesta:
|
A continuación encontrará cinco afirmaciones. Indique, rellenando el círculo correspondiente, si la proposición es verdadera o falsa y en cada caso demuestre si la proposición es verdadera o construya un contraejemplo si la proposición es falsa.
| a. | Si A y B son matrices con los mismos valores propios y las mismas multiplicidades, entonces A y B son semejantes. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| b. | Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, con producto interno \langle \cdot|\cdot \rangle. Si S=\{ v_1,v_2,v_3 \} es un conjunto ortogonal, formado por vectores no nulos, entonces S es un conjunto linealmente independiente. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| c. | Si T:V \longrightarrow W es una transformación lineal, U un subespacio de W, entonces H=\{ v\in V : T(v) \in U \} es un subespacio de V. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| d. | Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces A es diagonalizable si y sólo si es simétrica. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| e. | Haciendo uso de formas cuadráticas, se puede verificar que x^2+4xy+y^2=9 corresponde a la ecuación de una elipse en el plano. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
A continuación se presenta un enunciado y tres razonamientos que conducen a la demostración de un teorema. Usted deberá escribir la conclusión de cada razonamiento; y el texto del teorema que con estos razonamientos se ha demostrado.
Enunciado. Sea (V,+,\cdot,\mathbb{K}) un espacio vectorial definido en el campo \mathbb{K}. Considere v_1,v_2,...,v_n vectores en V. Si S es el subconjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores v_1,v_2,...,v_n, se tiene lo siguiente:
Es verdadero que, si \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0, entonces \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n=\textbf{0}_{V}.
Si v,u \in S y existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n,\beta_1,\beta_2,...,\beta_n tales que\begin{aligned}v&=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_n \\ u&=\beta_1 \cdot v_1 + \beta_2 \cdot v_2 + ...+\beta_n \cdot v_n \end{aligned}Haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa de las operaciones adición y multiplicación por escalar, se obtiene quev+u=(\alpha_1 +\beta_1) \cdot v_1 + (\alpha_2 +\beta_2) \cdot v_2 + ...+(\alpha_n +\beta_n) \cdot v_n
Por otra parte, Si \delta \in \mathbb{K} y v \in S se tiene nuevamente que existen escalares \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n tales quev=\alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + ...+\alpha_n \cdot v_nComo consecuencia de esto\delta \cdot v=(\delta\alpha_1) \cdot v_1 + (\delta\alpha_2) \cdot v_2 + ...+(\delta\alpha_n) \cdot v_n
Se sabe que W=(\mathbb{R}^2,+,\cdot) y V=(\mathbb{R}^2,\oplus,\odot) son espacios vectoriales reales siendo + y \cdot las operaciones usuales en \mathbb{R}^2; además, \oplus y \odot las operaciones definidas por\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} c\\d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c+1\\b+d \end{pmatrix}\qquad \alpha\odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha a + \alpha -1\\\alpha b \end{pmatrix}Bajo estas condiciones, se define la función T:V\longrightarrow W, definida por T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}.
| a. | Determine T\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \oplus \begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}, T\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}+T\begin{pmatrix} -1\\-1 \end{pmatrix}. |
| b. | Determine T\begin{pmatrix} \alpha \odot \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \end{pmatrix} y \alpha \cdot T\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}, si \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \in V y \alpha \in \mathbb{R}. |
| c. | ¿Cuál es el elemento neutro de la adición en V? |
| d. | Si \textbf{0}_{V} es el elemento neutro de V. ¿T(\textbf{0}_{V}) es igual al elemento neutro de W? |
| e. | ¿T es una transformación lineal? |
Sea (P_2,+,\cdot) el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual a dos con las operacione usuales entre polinomios. Dadas las bases B_1=\{ 1,1+x,(1+x)^2 \}\quad y \quad B_2=\{ 2-x,3,1+x^2 \}
| a. | Determine la matriz de cambio de base de B_2 a B_1. |
| b. | Si [p]_{B_{2}}=\begin{pmatrix} 10\\20\\30 \end{pmatrix}, determine p y [p]_{B_{1}}. |
| c. | Determinar, de ser posible, \beta\in \mathbb{R} tal que el vectorq(x)=1+\beta(1+x)+(1+2x+x^2)satisfaga [q]_{B_{2}}=\begin{pmatrix}\begin{array}{r} 2\\-7\\1 \end{array} \end{pmatrix}. |
Si (\mathbb{R}^3,+,\cdot,\mathbb{R}) es el espacio vectorial real con las operaciones usuales en \mathbb{R}^3, considere el subconjunto W formada por todos los vectores en \mathbb{R}^3 tal que la suma de sus componentes es igual a cero. Además, si U es el subconjunto de \mathbb{R}^3 generado por el vector (1,-1,0).
| a. | Verifique que el subconjunto W es un subespacio de \mathbb{R}^3. |
| b. | Determine el subespacio U\cap W. |
| c. | ¿Es U\cup W un subespacio? |
| d. | Determine la dimensión del subespacio vectorial U+W. |
A continuación encontrará cuatro afirmaciones. Indique, rellenando correspondientemente, si la afirmación es verdadera o falsa; en cada caso, justifique brevemente su respuesta.
| a. | El vector (x,y,z) pertenece al espacio columna de la matrizA=\begin{pmatrix} \begin{array}{rrrr} 2&-4&0&0\\-1&2&0&0\\0&0&1&2 \end{array} \end{pmatrix}sí, y solo sí, x+2y=0. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| b. | En el conjunto de los números complejos es cierto que 3i-8=i(3+i8). Esto significa que 3i-8 pertenece al subespacio de (\mathbb{C},+,\cdot,\mathbb{R}) que es generado por el vector 3i+8. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| c. | Dado un espacio vectorial (V,+,\cdot,\mathbb{K}), siempre podrán hallarse bases B_1 y B_2 de V tales que la matriz de cambio de base tenga nulidad diferente de cero. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| d. | Se conoce que las ternas (1,1,1) y (-9,3,-1) pertenecen al conjunto solución del sistema de ecuaciones lineales:\left\{\begin{array}{c} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=b_3\\a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z=b_4 \end{array}\right.Entonces la terna (-4,2,0) también es una solución del sistema. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
| e. | Si (V,+,\cdot,\mathbb{K}) es un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K}, sean U y W dos subespacios de V. Si \{ u_1,u_2,...,u_n \} y \{ w_1,w_2,...,w_m \} son bases de U y W respectivamente, entonces el conjunto \{ u_1,u_2,...,u_n,w_1,w_2,...,w_m \} es generador para el subespacio U+W. | V \bigcirc |
F \bigcirc |
Considere el siguiente teorema:
Sea V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y sea D un subconjunto de V linealmente independiente. Si v_0 \in V es un elemento tal que v_0 \notin gen(D), entonces el conjunto D\cup \{ v_0 \} es un conjunto linealmente independiente.
A continuación, se presenta un conjunto de pasos que ordenados pertinentemente representan la demostración de este teorema. En cada círculo en blanco indique el orden que corresponda al paso adjunto para que la demostración sea expresada de manera correcta.
| \bigcirc | En consecuencia D\cup \{ v_0\} es un conjunto linealmente independiente. |
| \bigcirc | Lo cual contradice la elección de v_0. |
| \bigcirc | \alpha_0 debe ser distinto de cero, de otro modo D sería linealmente independiente, lo cual sería una contradicción. |
| \bigcirc | Entonces existen elementos v_1,v_2,...,v_n \in D y escalares \alpha_0,\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n no todos iguales a cero, tales que \alpha_0 v_0+\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+...+\alpha_n v_n=0_V. |
| \bigcirc | Así v_0=\frac{\alpha_1}{\alpha_0}v_1+\frac{\alpha_2}{\alpha_0}v_2+...+\frac{\alpha_n}{\alpha_0}v_n. |
| \bigcirc | Suponga que el conjunto D\cup \{ v_0 \} es linealmente dependiente. |
Sea V un espacio vectorial definido sobre un campo \mathbb{K} y sea U un conjunto no vacío de V. Demuestre que U es un subespacio de V si, y sólo si, \alpha u + v \in U para todo u,v \in V y \alpha \in \mathbb{K}.
