Categoría: Temas 1ra Evaluación

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial y sea $H$ un subconjunto no vacío de $V$. Entonces, $H$ es un subespacio de $V$ si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:
1. $\forall\ h_{\mathrm{1}},h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\ H:h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}\ \mathrm{\in}\space H$
2. $\forall\ h\ \mathrm{\in}\ H\ \mathrm{\wedge}\ \forall\ \alpha\ \mathrm{\in}\ \mathbb{R}:\alpha\odot h\ \mathrm{\in}\space H$

Expresado de otra forma, un subconjunto de vectores constituye un subespacio vectorial, si éste a su vez constituye un espacio vectorial y al mismo tiempo es un subconjunto de un espacio vectorial mayor.

Para determinar si un subconjunto es o no un subespacio vectorial, es necesario que sea no vacío y mostrar que cumple con los axiomas de cerradura:

Una manera de determinar que $H$ es no vacío, es demostrando que el vector nulo está en $H$, razón por la cual algunos autores indican como axioma adicional que $n_V{{\in}H}$. Es conveniente notar que si los axiomas 1 y 2 se satisfacen y $H$ es no vacío, entonces existe al menos un elemento $u\!\in\!H$; así se tiene que $(-1)\odot u{{\in}H}$ por el axioma 2, y $u+(-1)\odot u=n_V\!\in\!H$; de donde, si se cumplen los axiomas 1 y 2 además de que $H$ es no vacío, es decir, $n_V \! \in \! H.$

Ejemplo. Determine si el subconjunto $H$ de todos los vectores en $\mathbb{R^3}$ de la forma $\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ constituye un subespacio vectorial en $\mathbb{R^3}$.

Solución. Para determinarlo, se debe probar que H es no vacío (nótese que el vector (0,0,0) pertence a H), y que el subconjunto cumple con los axiomas de cerradura de la suma entre vectores y multiplicación por un escalar.

Sean $h_{\mathrm{1}}=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ y $h_{\mathrm{2}}=\left(y_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right)$ entonces:
$h_{\mathrm{1}}\mathrm{\oplus}h_{\mathrm{2}}=\left(x_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}} + y_{\mathrm{1}} + y_{\mathrm{2}}\right)$ Nótese que la tercera componente es la suma de las dos primeras. Por consiguiente el axioma si se cumple.

Sea $h=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{1}} + x_{\mathrm{2}}\right)$ entonces:
$\alpha\odot h=\alpha\odot\left(x_{1},x_{2},x_{1}+x_{2}\right)=\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha\left(x_{1},x_{2}\right)\right)$Por consiguiente el axioma si se cumple.

En conclusión, al cumplir con los $2$ axiomas entonces el subconjunto $H$, con las operaciones convencionales de suma entre vectores ($\oplus$) y multiplicación por un escalar ($\odot\alpha$), representa un subespacio vectorial.

Cuando no se especifican las operaciones, por definición, se asumen las operaciones convencionales de suma entre vectores ($\oplus$) y multiplicación por un escalar ($\odot\alpha$).

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Definición. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$ y sea el espacio nulo de una matriz, $N_A$, tal que$N_A=\left\{x\in \mathbb{R^n}: Ax=0 \right\}$entonces, $N_A$ es un subespacio de $\mathbb{R^n}$.

Observación. El espacio nulo de una matriz, $N_A$, se lo conoce también como el núcleo o el kernel de la matriz $A$ de orden $m\times n$.

Notación. El espacio nulo de una matriz, $N_A$, también se denota como $N(A)$.

Definición. Sea $N_A$ el espacio nulo de una matriz $A$ de orden $m\times n$. Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo de $A$.

Notación. La nulidad del núcleo de una matriz $A$ de orden $m\times n$ se denota como $\nu_A$ o también $\nu(A)$.

Teorema. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. Entonces $A$ es invertible si y solo si $\nu_A=dim\ N_A=0$.

Definición. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. Entonces la imagen de $A$ esta dada por$Im_A=\left\{y\in \mathbb{R^m}: Ax=y\quad para\ alguna\ x\in \mathbb{R^n} \right\}$

Observación. La imagen de una matriz $A$ de orden $m\times n$, $Im_A$, se la conoce también como el recorrido de la matriz $A$ de orden $m\times n$.

Notación. La imagen de una matriz $A$ de orden $m\times n$, $Im_A$, también se denota como $Im(A)=Re(A)=Re_A=Rec(A)$.

Teorema. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. Entonces la imagen de A es un subespacio de $\mathbb{R^m}$.

Definición. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$. Entonces el rango de $A$ esta dada por$\rho_A=dim\ Im_A$.

Definición. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$, sean $\left\{r_1,r_2,...,r_m\right\}$ las filas de $A$ y $\left\{c_1,c_2,...,c_n\right\}$ las columnas de $A$. Entonces se define$R_A=\ espacio\ fila\ de\ A=gen\left\{r_1,r_2,...,r_m\right\}$$y$$C_A=\ espacio\ columna\ de\ A=gen\left\{c_1,c_2,...,c_n\right\}$

Notación. El espacio fila de una matriz $A$ de orden $m\times n$, $R_A$, también se denota como $R(A)=filas(A)$; además, El espacio columna de una matriz $A$ de orden $m\times n$, $C_A$, también se denota como $C(A)=col(A)$.

Teorema. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$, Entonces $dim\ R_A=dim\ C_A=dim\ Im_A=\rho_A$

Teorema. Para cualquier matriz $A$ de orden $m\times n$, $C_A=Im_A$; es decir, la imagen de una matriz es igual al espacio de sus columnas.

Teorema. Sea $A$ una matriz de orden $m\times n$, Entonces $\rho_A+\nu_A=n$; es decir, el rango de $A$ más la nulidad de $A$ es igual al número de columnas de $A$.

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Definición. Sea $B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}$ un conjunto de vectores de un espacio vectorial $V$ y $v$ un vector de $V$. Si se expresa $v$ como combinación lineal de $B$, es decir$v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n,$entonces el vector $u=\left( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,...,\alpha_n \right)$ representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$ donde el vector $u$ es un vector coordenado.

Notación. El vector coordenado $u$ que representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$ se denota por $\left[v\right]_B=u$.

Ejemplo. Sean $V=\mathbb{R^2}$ y $\scriptsize{B=\left\{\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right), \left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \right\}}$. Si el vector $\scriptsize{v=\left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right)}$ y el vector $\scriptsize{u=\left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right)}$ entonces denote las coordenadas del vector $v$ respecto al conjunto $B$.

Solución. Sea $u$ el vector que representa las coordenadas del vector $v$ en función de $B$, tal que$\begin{array}{rcc} \left[v\right]_B & = & u \\ \left[v\right]_B & = & \left(\begin{array}{r} {5}/{2}\\ {3}/{2} \end{array}\right) \end{array}$Entonces, por definición, se expresa $v$ como combinación lineal de $B$, es decir$\begin{array}{ccl} v & = & \alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\ v_1 + {3/2}\ v_2 \\ \left(\begin{array}{r} 4\\-1 \end{array}\right) & = & {5/2}\left(\begin{array}{r} 1\\-1 \end{array}\right)+{3/2}\left(\begin{array}{r} 1\\1 \end{array}\right) \end{array}$

Teorema. Sea $V$ un espacio vectorial con una base $B=\left\{v_1,v_2,v_3,..., v_n\right\}$. Entonces

$1)$ $\left[\delta v\right]_B=\delta \left[v\right]_B$.
$2)$ $\left[v+w\right]_B=\left[v\right]_B+\left[w\right]_B$.

Definición. Sea $A$ una matriz de $n\times n$ columnas, se denomina matriz de cambio de base o matriz de transición si las columnas representan los vectores coordenados de la base $B_1$ en función de la base $B_2$ o viceversa. De forma general se tiene$v_j=\alpha_{1j}v_1+\alpha_{2j}v_2+...+\alpha_{nj}v_n$es decir,$\left[v_j\right]_{B_2}=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1j}\\\alpha_{2j}\\ \vdots \\\alpha_{nj} \end{array}\right)=u_j$de donde$A=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \\ \uparrow&\uparrow&\uparrow& &\uparrow \\ \left[v_1\right]_{B_2} & \left[v_2\right]_{B_2}& \left[v_3\right]_{B_2} &...&\left[v_n\right]_{B_2} \end{pmatrix}$

Notación. Sean $B_1=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}$ y $B_2=\left\{u_1,u_2,...,u_n\right\}$ bases de un espacio vectorial $V$, entonces la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ se denota$A_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & ... & \alpha_{1n}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & ... & \alpha_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\\alpha_{n1} & \alpha_{n2} & \alpha_{n3} & ... & \alpha_{nn} \end{pmatrix}$siendo$\begin{array}{ccl} v_1&=&\alpha_{11}u_1+\alpha_{21}u_2+...+\alpha_{n1}u_n \\v_2&=&\alpha_{21}u_1+\alpha_{22}u_2+...+\alpha_{n2}u_n \\ \vdots &=& \vdots\\ v_n&=&\alpha_{n1}u_n+\alpha_{n2}u_n+...+\alpha_{nn}u_n\end{array}$

Observación. Por ningún motivo se debe intercambiar el orden de los vectores de las bases; hacer esto originaría una nueva matriz de cambio de base. En otras palabras, si se cambia el orden en el que se escriben los vectores de la base, entonces también debe cambiarse el orden de las columnas en la matriz de cambio de base.

Teorema. Sean $B_1$ y $B_2$ bases para un espacio vectorial $V$. Sea $A$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Entonces para todo $v\in V$$\left[v\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[v\right]_{B_1}$

Teorema. Sea $A$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Entonces $A^{-1}$ es la matriz de cambio de base de $B_2$ a $B_1$, es decir$A_{B_1B_2}=A_{B_1 \longrightarrow B_2}=A^{-1}_{B_2 \longrightarrow B_1}=A^{-1}_{B_2B_1}$

Ejemplo. Sean $B_1=\left\{u_1,u_2\right\}$ y $B_2=\left\{1+2x,2+x\right\}$ bases de $\wp_1$; y, sean $A=\scriptsize{\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}}$ la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$. Determine:

$a)$ La matriz $A_{B_2B_1}$.
$b)$ La base $B_1$.

Solución.

Literal a. Para determinar $A_{B_2B_1}$ se deben expresar los vectores de la base $B_2$ como combinación lineal de los vectores de la base $B_1$; pero como se desconocen los vectores de la base $B_1$ entonces se puede determinar la matriz inversa de $A_{B_1B_2}$ que si es conocida y por teorema se determina que $A_{B_2B_1}=A^{-1}_{B_1B_2}$.

Por consiguiente, $A_{B_2B_1}=A^{-1}=\begin{pmatrix} \frac{2}{7} & \frac{1}{7}\\ -\frac{3}{7} & \frac{2}{7} \end{pmatrix}$.

Literal b. Al conocer la base $B_2$ y la matriz de cambio de base de $B_1$ a $B_2$ por teorema se determina que $\left[u_1\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_1\right]_{B_1}$ es decir$\left[u_1\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$de donde$u_1=2(1+2x)+3(2+x)=8+7x$De la misma forma, por teorema se determina que $\left[u_2\right]_{B_2}=A_{B_1B_2}\left[u_2\right]_{B_1}$ es decir$\left[u_2\right]_{B_2}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$de donde$u_2=-1(1+2x)+2(2+x)=3$Por consiguiente, la base $B_1=\left\{8+7x,3\right\}$.

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Definición. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. Se definen las siguientes operaciones entre subespacios:
$\small{\begin{array}{lrcl}
{Intersecci\acute{o}n}:& H \cap W &=& \left\{ v\in V/v\in H \wedge v\in W\right\}\\
{Uni\acute{o}n}:& H \cup W &=& \left\{ v\in V/v\in H \vee v\in W\right\}\\
{Suma}:& H+W &=& \left\{ v=h\oplus w \in V/ h\in H \wedge w\in W\right\}
\end{array}}$

Teorema. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. Entonces $H \cap W$ y $H + W$ también son subespacios vectoriales de $V$.

Observación. La operación de unión entre subespacios vectoriales de $V$ no necesariamente va a dar como resultado otro subespacio vectorial de $V$, a menos que uno este contenido en el otro.

Ejemplo. Determine si la unión entre los siguientes subespacios vectoriales de $V$ es otro subespacio de $V$.$\small{\begin{array}{rcl}
H &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=x\right\}\\
W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}} / y=-x\right\}
\end{array}}$

Solución. (contraejemplo) $\begin{array}{rcl} H\cup W &=& \left\{ (x,y)\in \mathbb{R^{2}}/(x,y) \in H \vee (x,y)\in W\right\} \end{array}$

Si $\forall\ (x,y),(p,q)\in H\cup W : (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W$ por el axioma de cerradura bajo la suma, se tiene que$\begin{array}{rcl} (x,y)\in H\cup W &\Longrightarrow & (x,y)\in H \vee (x,y)\in W \\ (p,q)\in H\cup W &\Longrightarrow & (p,q)\in H \vee (p,q)\in W \end{array}$de donde$\begin{array}{rcl} (x,y),(p,q)\in H &\Longrightarrow & (x,y)\oplus(p,q)\in H \\ (x,y),(p,q)\in W &\Longrightarrow &(x,y)\oplus(p,q)\in W \end{array}$ es decir, $\begin{array}{rcl} (x,y)\oplus(p,q)\in H\cup W \end{array}$; sin embargo, si $(1,1),(1,-1)\in H\cup W$ entonces $(1,1)\oplus(1,-1)=(2,0)\notin H\cup W$.

Por consiguiente, $H\cup W$ no es un subespacio vectorial de $V$.

Teorema. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. Entonces $H \cup W$ es un subespacio vectorial de $V$ si y solo si $H\subseteq W$ o $W\subseteq H$.

Teorema. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$ donde $H=gen\left\{P\right\}$ y $W=gen\left\{Q\right\}$. Entonces $H+W=gen\left\{P\cup Q\right\}$.

Teorema. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$ de dimensión finita. Entonces$dim(H+W)=dim(H)+dim(W)-dim(H\cap W)$

Definición. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. La suma $H+W$ se denomina suma directa de $H$ y $W$, denotada como $H\oplus W$, si cada vector en el espacio $H+W$ tiene una única representación como la suma de un vector en $H$ y un vector en $W$.

Teorema. Sean $H$ y $W$ subespacios vectoriales de un espacio vectorial $V$. Entonces $H+W=H\oplus W$ si y solo si $H\cap W=\left\{0_V\right\}$.

Ejemplo. Sean $H$ y $W$ subespacios de $\mathbb{R^3}$ dado por$\begin{array}{rcl}H&=&gen\left\{(-1,1,3)\right\} \\ W&=&\left\{(x,y,z)/2x-y+3z=0\right\}\end{array}$ Determine

$a)$ El subespacio de la intersección entre $H$ y $W$.
$b)$ Muestre que $H\cup W$ no es un subespacio de $\mathbb{R^3}$.
$c)$ Que $P=\left\{p\in \mathbb{R^3} / p=h+w\ {;}\ h\in H\ y\ w\in W\right\}$ es $\mathbb{R^3}$.

Solución.

Literal a. Sean $\scriptsize{H=\left\{ \left(\begin{array}{r}-a\\a\\3a \end{array}\right) {/}\ \forall\ a\in \mathbb{R} \right\}}$ y $\scriptsize{W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) {/}\ \forall\ x,z\in \mathbb{R} \right\}}$ entonces$H\cap W \Longrightarrow \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) = \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) \Longrightarrow a=x=z=0$Por consiguiente, $\scriptsize{H\cap W=\left\{ \left(\begin{array}{r} 0\\0\\0 \end{array}\right) \right\}}$, neutro del espacio vectorial en $\mathbb{R^3}$.

Literal b. Si $H\cup W$ es subespacio de $\mathbb{R^3}$, entonces debe cumplir con los dos axiomas de cerradura; además, la unión de dos subespacios se denota también como la suma de estos, es decir$H\cup W = \left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)$ de donde$H\cup W=\left\{ \left(\begin{array}{r}x-a\\a+2x+3z\\3a+z \end{array}\right) {/}\ x,z,a\in \mathbb{R} \right\}$Entonces, $\forall\ h,w \in U\ :\ h\oplus w \in U$. Si $U$ es $H\cup W$ se tiene que el vector suma que pertenece a $U$ debe pertenecer a $H$ o $W$, de donde$\scriptsize{\left(\begin{array}{r} x_1 - a_1 \\a_1 + 2x_1 + 3z_1 \\3a_1 + z_1\end{array} \right) \oplus \left(\begin{array}{r}x_2 - a_2 \\a_2 + 2x_2 + 3z_2\\3a_2 + z_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} (x_1 - a_1) + (x_2 - a_2) \\ (a_1+a_2) + 2(x_1+x_2) + 3(z_1 + z_2)\\3(a_1+a_2) + (z_1+z_2) \end{array}\right) }$Nótese que el vector suma no pertenece ni a $H$ ni a $W$.

Por consiguiente, es este caso, la unión de estos subespacios no constituye un subespacio vectorial de $\mathbb{R^3}$.

Literal c. Si $P=\mathbb{R^3}$ (lo que se debe demostrar), entonces cualquier vector de $\mathbb{R^3}$ pertenece $P$; es decir, que todo vector de $\mathbb{R^3}$ puede ser expresado en función de los vectores de $P$.

Si $p=h+w$, $h=\small{\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right)}$ y $w=\small{\left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right)}$ entonces$h+w=\left(\begin{array}{r} -a\\a\\3a \end{array} \right) + \left(\begin{array}{r}x\\2x+3z\\z \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}x-a\\2x+3z+a\\z+3a \end{array}\right)$y, por lo tanto, cualquier vector de $\mathbb{R^3}$ puede ser expresado como una combinación lineal, tal que$\small{x \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + a \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \quad {,} \quad \left\{\left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) , \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \right\}}$A continuación, se toma un vector típico de $\mathbb{R^3}$ para verificar que puede (el vector típico) ser expresado en función de éstos tres vectores, así se tiene que $\alpha_1 \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) + \alpha_2 \left(\begin{array}{r} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right) + \alpha_3 \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{r} i \\ j \\ k \end{array}\right)$Al resolver el sistema de ecuaciones lineales asociado se obtiene que$\alpha_1=\frac{9i+k-j}{9} \quad{,}\quad \alpha_2=\frac{j-2k}{3} \quad{,}\quad \alpha_3=\frac{k-j}{9}$Por consiguiente, cualquier vector de $\mathbb{R^3}$ pertenece a $P$ y $P=\mathbb{R^3}$.

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Definición. Se denomina base de un espacio vectorial $V$ a un subconjunto finito de vectores $\small{A=\left\{v_1,v_2,...,v_n\right\}}$, si y solo si, $A$ es linealmente independiente y es un conjunto generador de $V$.

Observación. Cada espacio vectorial puede tener diferentes bases, pero todas las bases siempre tendrán el mismo número de vectores.

Ejemplo. Sean $\small{f(x)=x^2+1}$, $\small{g(x)=3x-1}$ y $\small{h(x)=-4x+1}$, demuestre que $\small{H=\left\{f,g,h\right\}}$ es una base para el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos, $\mathcal{P}_2$.

Solución. Primero se prueba el criterio de independencia lineal, por lo que se plantea la siguiente igualdad$\begin{array}{rcl}\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& n \\ \alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) &=& 0x^2+0x+0\\ \alpha_1 (x^2+1)+\alpha_2 (3x-1)+\alpha_3 (-4x+1) &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+\alpha_1 + 3\alpha_2 x - \alpha_2 - 4\alpha_3 x + \alpha_3 &=& 0x^2+0x+0 \\ \alpha_1 x^2+(3\alpha_2 - 4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) &=& 0x^2+0x+0\end{array}$Esto implica que$\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1 &=&0 \\ 3\alpha_2 -4\alpha_3&=&0 \\ \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 &=&0 \end{array}\right.$Al resolver el sistema se tiene que éste tiene solución única y esta dada por $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0$; es decir, la igualdad $\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x)=0$ se cunple solo si $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$. Por tanto, el conjunto $\small{H=\left\{f,g,h\right\}}$ es linealmente independiente en $\wp_2$.

Ahora se verifica que el conjunto $H$ genere a todo $\wp_2$. Para esto, se considera $p(x)=ax^2 +bx+c$ y escalares $\alpha_1$, $\alpha_2$ y $\alpha_3$ tales que $\begin{array}{rcl}p(x)&=&\alpha_1 f(x)+\alpha_2 g(x)+\alpha_3 h(x) \\ &=&\alpha_1 x^2+(3\alpha_2 -4\alpha_3)x+(\alpha_1 -\alpha_2+\alpha_3) \end{array}$Lo cual genera el sistema$\left\{ \begin{array}{rcl}\alpha_1&=&a \\ 3\alpha_2-4\alpha_3&=&b \\\alpha_1-\alpha_2+\alpha_3&=&c \end{array}\right.$Al analizar el sistema, se tiene que siempre tiene solución pues la matriz adjunta del mismo es $(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&b\\ 1 & -1 & 1&c \end{array}\right)$que en forma escalonada reducida es$(A|B)=\left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 0 & 0&a\\ 0 & 3 & -4&4a-b-4c\\ 1 & -1 & 1&3a-b-3c \end{array}\right)$Entonces $\rho(A|B)=\rho(A)=3$. Luego como el sistema siempre tiene solución, independientemente de los valores de $a$, $b$ y $c$ se concluye que el sistema es consistente; además, su única solución es $\alpha_1=a$, $\alpha_2=4a-b-4c$ y $\alpha_3=3a-b-3c$. En consecuencia, cualquier polinomio $p(x)=ax^2 +bx+c$ en $\wp_2$ puede ser expresado como combinación lineal de los polinomios $\small{f(x)=x^2+1}$, $\small{g(x)=3x-1}$ y $\small{h(x)=-4x+1}$, es decir, $\small{\wp_2=gen\left\{f,g,h\right\}}$.

Por consiguiente, dado que $H$ es linealmente independiente y es un conjunto generador de los polinomios de grado menor o igual a dos, entonces $H$ es una base para $\wp_2$.

Definición. Si el espacio vectorial $V$ tiene una base con un número finito de elementos, entonces la dimensión de $V$ es el número de vectores en todas las bases y $V$ se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, $V$ se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si $V=\left \{ 0_V\right\}$ (neutro del espacio), entonces se dice que $V$ tiene dimensión cero.

Notación. La dimensión $V$ se denota por $dim\ V$.

La dimensión de algunos espacios vectoriales (sin restricciones) pueden determinarse conforme a la siguientes regla:$\begin{array}{rcl}dim\ \mathbb{R^n}&=&n \\ dim\ \wp_n&=&n+1\\ dim\ \mathbb{M_{m\times n}}&=&m\times n\end{array}$

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Referencias Bibliográficas

Definición. Sea $A$ una matriz $m\times n$, el rango de $A$ es el número de filas no nulas que resultan luego de reducir por renglones a la matriz.