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1Eva_IIIT2012_T2 funcion densidad

1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 2 (30 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

f_X(x) = \begin{cases} k(x+2) && , x \in (-2,0] \\ -k(x-2) && , x \in (0,2] \\ 0 && , x \in (-\infty,-2]\cup(2,\infty) \end{cases}

a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/4

b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

i. La función de distribución de probabilidad de Y
ii. La función de densidad de probabilidad de Y


Rúbrica: literal a 10 puntos, literal b, 10 puntos cada parte.

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1Eva_IIIT2012_T1 Marginales discretas

1ra Evaluación III Término 2012-2013. Marzo 20, 2013. FIEC03236

Tema 1 (30 puntos). Dos líneas de producción fabrican transmisores.Supóngase que la capacidad es de 5 transmisores para la línea I y de 3 transmisores para la línea II.

Sea X,Y la representación de la variable aleatoria bidimensional que da el número de transmisores producidos por la línea I y por la línea II:

X \ Y 0 1 2 3 4 5
0 0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09
1 0,01 0,02 0,04 0,05 0,06 0,08
2 0,01 0,03 0,05 0,05 0,05 0,06
3 0,01 0,02 0,04 0,06 0,06 0,05

a) Determinar la probabilidad del suceso: la línea I produce más transmisores que la línea II

b) Hallar las distribuciones marginales, fX(x) y fY(y)

c) Calcular P(X=3) y P(Y=1)

d) Calcular E(X) y E(Y)

e) Calcular P(X=2|Y=2)

Rúbrica: cada literal 6 puntos

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Metodo de la Transformada

Referencia: Gubner 4.3 p159, León García 7.6.2 p 398

Los metodos de transformadas son muy útiles para cálculos que involucran derivadas e integrales de funciones. Muchos problemas involucran el uso de la «convolución» de dos funciones f1(x) * f2(x), cuyo cálculo se facilita si se tabaja con un método de transformadas.

Usar por ejemplo la transformada de Fourier, al cambiar de dominio convierte la convolución de funciones en una multiplicación, al resultado se le realiza la antitransformada y se obtiene el resultado buscado.

Función característica

Sea X una variable aleatoria contínua con función densidad de probabilidad f(x), entonces:

\Phi_{X} (\omega) = E\left[ e^{j \omega X} \right] = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) e^{j\omega x} dx \text{donde } j=\sqrt{-1}

lo que también es la transformada de Fourier de f, la fórmula para invertir la transformada es:

f_{X}(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \Phi_{X}(\omega) e^{-j\omega x} d\omega

Es una transformación de la función desde el dominio del tiempo (t) al dominio de la frecuencia (ω).

Nota: En los libros de sistemas y señales, se define la transformada de Fourier de f por \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega x} dx . Para ser mas preciso, se debería decir φX(v) es la transformada de Fourier evaluada en -v.

Convolutions | Why X+Y in probability is a beautiful mess. 3Blue1Brown. 27 junio 2023.

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1Eva_IIT2012_T3 Bivariadas marginales

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 3 (40 puntos). Sean las variables aleatorias X y Y con función de densidad conjunta :

f_{XY}(x,y) = k*y(1-x-y)

Si (x,y) pertenece al recinto limitado por las rectas x + y = 1; x = 0; y = 0.

a) Calcular el valor de k
b) Calcular la función de distribución de la variable aleatoria bidimensional F(x,y)
c) Calcular las funciones de densidad marginales

Nota: literal a y c (10 puntos), literal b (20 puntos)

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1Eva_IIT2012_T2 funcion densidad y acumulada

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 2 (40 puntos). La variable aleatoria X tiene por función de densidad fX(x), y se define la variable aleatoria Y=g(x).

F_{X}(x) = 2 * \begin{cases} 0.5x + 0.5 && , x \in (-1,0] \\ -0.5x + 0.5 && , x \in (0,1] \\ 0 && , x \in (-\infty , 1] \cup (1, \infty) \end{cases}

a) Determinar b para que P(|X|<b) = 1/5

b) Si g(x)=x2, encuentre y grafique:

b.1 La función de distribución de probabilidad de Y

b.2 La función de densidad de probabilidad de Y

Nota: literal a (10 puntos), literal b.1 y b.2 (15 puntos) cada uno

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1Eva_IIT2012_T1 Transmision binaria errores

1ra Evaluación II Término 2012-2013. Noviembre 29, 2012. FIEC03236

Tema 1 (20 puntos). Una fuente binaria emite de manera equiprobable e independientemente un bloque de tres dígitos (0 o 1) cada segundo.

De cada bloque se envía a  un canal de transmisión un cero si en el bloque hay más ceros que unos y un uno en caso contrario.

El canal transmite el digito con una probabilidad de error p, y el receptor reconstruye la terna, repitiendo tres veces el digito que se ha recibido.

Determine:

a) ¿Cuál es el número de bits erróneos por bloque? (10 puntos).

b) ¿Cuál debería ser la probabilidad p, para que este valor medio no fuese mayor que 1? (10 puntos).

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3Eva_IIT2012_T3 autocorrelación

3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

Tema 3 (25 puntos). Sea X(t) un proceso estocástico normal y estacionario, con autocorrelación:

R_{X} = \frac{1}{1+\tau ^2} +1

Determinar:

a) P(|X(2)| ≤ 2)

b) La matriz de covarianzas de la variable aleatoria tridimensional [X(0), X(1), X(3)]

c) La función de densidad de la variable aleatoria Z=X2(2)

d) La autocorrelación del proceso estocástico Y(t)=4*X(t+1)+t

Rúbrica:  literal a (4 puntos), literal b (6 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)

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3Eva_IIT2012_T2 autocorrelación

3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

Tema 2 (25 puntos). Sea Z(C,D) una variable aleatoria bidimensional continua, con función de densidad

f_{Z}(c,d)=\begin{cases} 2 && , c \geq 0, d \geq 0, c+d \leq 1 \\ 0 && \text{, en el resto} \end{cases}

Sea X(t)=C*t2+D. Determinar:

a) La media y la autocorrelación de X(t)

b) La varianza de X(3)

c) La función de densidad de X(2)

Rúbrica: literal a (10 puntos), literal b (5 puntos), literal c (10 puntos)

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3Eva_IIT2012_T1 función densidad

3ra Evaluación II Término 2012-2013. Febrero 14, 2013. FIEC03236

Una máquina fabrica ejes cuyos radios se distribuyen según una variable aleatoria X cuya función de densidad es:

f_{X}(x) = \begin{cases} k(x-1)(x-3) && , 1 \leq x \leq 3 \\ 0 && \text{otro caso}\end{cases}

La variable aleatoria X se mide en metros.

Determinar:

a) El valor de la constante k.

b) La función de densidad de la variable aleatoria que mide la longitud de los radios en centímetros.

c) La función de densidad para el área de las secciones.

d) Si los ejes se desechan cuando su radio se desvía de 2 metros más de 80cm., calcula la proporción de ejes que serán rechazados.

Rúbrica: literal a (5 puntos), literal b (10 puntos), literal c (10 puntos), literal d (5 puntos)