Referencia: Gubner p.74, León-García p.102
Variable aleatoria Geométrica
Para 0 ≤ p < 1, se define como una variable aleatoria geométrica1 que inicia en 1 o estandarizada como:
P(X=k) = (1-p)^{k-1}p k= 1,2,...Este tipo de variable se usa cuando se pregunta cuántos intentos se requieren de un experimento hasta que se obtenga un resultado específico.
ejemplo de una distribución geométrica1(p), p=0.3
# Distribución geométrica con valor p import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stats # INGRESO n = 9 p = 0.3 media = 0 # PROCEDIMIENTO k = np.arange(media-1, n+1) px = stats.geom.pmf(k,p,media) # SALIDA print('k: ', k) print('p(k):', px) # grafica plt.title('Uniforme rango hasta n='+str(n)) plt.stem(k,px) plt.xlabel('k') plt.margins(0.1) plt.show()
k: [-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
p(k): [ 0. 0. 0.3 0.21
0.147 0.1029 0.07203 0.050421
0.0352947 0.02470629 0.0172944 ]
Ejemplo
León-García 3.9 p.102
Sea X el número de veces que un mensaje tienen que ser transmitido hasta que sea recibido correctamente en el receptor. Encuentre la pmf de X y la probabilidad que X sea un número par.
X es un variable aleatoria discreta, que toma valores de Sx ={1,2,3,…}. El Evento {X=k} sucede si el experimento principal encuentra las K-1 transmisiones consecutivas con error o fallas seguidas de una sin error o éxito.
p_x(k)= P[X=k] = P[00...01] = (1-p)^{k-1}p = q^{k-1}p \text{para k=1,2,...}Se puede indicar que X tiene una distribución geométrica.
En la ecuación podemos ver que la suma es 1.
P[\text{X es par}] = \sum\limits_{k=1}^{\infty} p_x(2k) = p\sum\limits_{k=1}^{\infty} q^{2k-1} =p\frac{1}{1-1^2} = \frac{1}{1+q}Ejemplo: Gubner E2.12 p.74.
Cuando una computadora lee un dato , lo hace primero en la memoria intermedia o caché, en caso de no encontrarla, procede a la memoria RAM.
El dato se encuentra en el cache con probabilidad p.
Encuentre la probabilidad que la primera vez que no se encuentra el dato en la memoria intermedia o caché ocurre en la k-ésisma lectura.
Suponga que la presencia del dato en el caché es independiente en cada lectura.
Solución: Sea T=k si la primera vez que no esta un dato en el cache ocurre en la k-ésima lectura.
Para i=1,2,…,
- sea Xi =1 si la en la i-ésima lectura el dato está en caché
- Xi=0 en otro caso
Entonces P( Xi=1) = p y p( Xi=0)=1-p.
La buscado es la primera lectura en que el cache no contiene el dato, es decir la k-ésima lectura, las primeras k-1 tenían el dato en cache.
En términos de eventos:
\{T=k\} = = \{X_1=1\}\cap ...\cap \{ X_{k-1}=1\} \cap \{X_k=0\}dado que Xi es independiente, y tomando las probabilidades en ambos lados de la ecuación:
P(T=k) = = P(\{X_1=1\}\cap ...\cap \{ X_{k-1}=1\} \cap \{X_k=0\} ) = P(X_1=1) ...P(X_{k-1}=1).P(X_k=0) = p^{k-1}(1-p)Ejemplo
Gubner E2.13 p.75
Continuando con el ejercicio anterior, ¿Cuál es la probabilidad que la primera lectura fallida en caché sea después de la tercera lectura de memoria?
Solución: Se requiere encontrar:
P(T>3) = \sum\limits_{k=4}^{\infty} P(T=k)Sin embargo dado que P(T=k) =0 para k≤0, se puede reescirbir en una serie finita:
P(T>3) = 1-P(T \leq 3) = \sum\limits_{k=1}^{3} P(T=k) = 1-(1-p)[1+p+p^2]
