Variables Aleatorias Contínuas – Procesos Estocásticos

Referencia: León-García 445 Important Continuous Random Variables p164

[uniforme] [Exponencial] [Normal] [Gamma] [Erlang m-1] [Chi-cuadrado] [Lapacian] [Rayleigh] [Cauchy] [Pareto] [Beta]

Uniforme

S_X = [a,b]

f_X(x) = \frac{1}{b-a}

a\leq x \leq b

E[X] = \frac{a+b}{2}

VAR[X] = \frac{(b-a)^2}{12}

\Phi_X(\omega) = \frac{e^{j\omega b}- e^{j\omega a}}{j\omega(b-a)}

Exponencial

S_X = [0, \infty)

f_X(x) = \lambda e ^{-\lambda c}

x \geq 0 \text{ , } \lambda > 0

E[X] = \frac{1}{\lambda}

VAR[X] = \frac{1}{\lambda ^2}

\Phi_X(\omega) = \frac{\lambda}{\lambda - j\omega}

Nota: La variable aleatoria exponencial es la única variable aleatoria contínua con propiedad «sin memoria»

Normal o Gausiana

S_X = (-\infty, +\infty)

f_X(x) = \frac{e^{-(x-m)^2 /2 \sigma ^2}}{\sqrt{2 \pi}\sigma}

– ∞ < x < + ∞ , σ >0

E[X] = m

VAR[X] = \sigma ^2

\Phi_X(\omega) = e^{jm\omega - \sigma ^2 \omega ^2 /2}

Nota: En un amplio rango de condiciones, X puede ser usada para aproximar la suma de un gran número de variables aleatorias independientes

Gamma

S_X = (0, \infty)

f_X(x) = \frac{ \lambda (\lambda x)^{\alpha -1} e^{-\lambda x} } {\Gamma(\alpha)}

x > 0, \alpha >0, \lambda > 0

donde  $\Gamma(z)$  es la función gamma:
 $\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1} e^{-x} dx , z>0$ 
 $\Gamma \left(\frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi}$ 
 $\Gamma (z+1) = z \Gamma(z) , z>0$ 
 $\Gamma (m+1) = m! , m>0 \text{, y entero}$

E[x] = \frac{\alpha}{\lambda}

VAR[X] = \frac{\alpha}{\lambda^2}

\Phi_X(\omega) =\frac{1}{(1-j\omega /\lambda)^{\alpha}}

Casos especiales de Gamma
.

Erlang m-1

\alpha = m \text{, entero positivo}

$f_X(x) = \frac{ \lambda e^{-\lambda x }(\lambda x)^{m - 2} } {(m-1)!}$ $x>0$

\Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-j\omega /\lambda} \right) ^{m}

Nota: Una variable aleatoria Erlang m-1 se obtiene al añadir m variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro λ
.

Chi-cuadrado
con k grados de libertad:

\alpha = k/2 \text{, k entero positivo y } \lambda =1/2

f_X(x) = \frac{ x^{(k - 2)/2} e^{-x/2} } {2^{k/2} \Gamma (k/2)}

x>0

\Phi_X(\omega) = \left( \frac{1}{1-2j\omega} \right) ^{k/2}

Nota: la suma de k variables aleatorias Gausianas, mutuamente independientes, con varianza unitaria, media cuadrada 0, es una variable aleatoria Chi-cuadrada con k grados de libertad.

Lapacian

S_X = (-\infty, +\infty)

f_X(x) = \frac{\alpha}{2} e^{-\alpha|x|}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

E[x] =0

VAR[X] = \frac{2}{\alpha^2}

\Phi_X(\omega) = \frac{\alpha^2}{\omega ^2 + \alpha ^2}

Rayleigh

S_X = [0, \infty)

f_X(x) = \frac{x}{\alpha^2} e^{-x^2/2\alpha^2}

x \geq 0 , \alpha>0

E[X] = \alpha \sqrt{\pi/2}

VAR[X] =(2- \pi/2) \alpha^2

Cauchy

S_X = (-\infty, +\infty)

f_X(x) = \frac{\alpha / \pi}{x ^2 + \alpha ^2}

– ∞ < x < + ∞ , α >0

NO existe la media o varianza

\Phi_X(\omega) = e^{-\alpha|\omega| }

Pareto

S_X = [X_m, +\infty) , X_m>0

f_X(x) = \begin{cases} 0 && x< x_m\\ \alpha \frac{x_m^{\alpha}}{x^{\alpha+1}} && x \geq x_m \end{cases}

E[X] =\frac{\alpha x_m}{\alpha - 1}, \alpha >1

VAR[X] =\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha - 2)(\alpha-1)^2}, \alpha >2

Nota: La variable aleatoria Pareto es el ejemplo mas destacado de variables aleatorias con colas largas y puede ser vista como una versión contínua de la variable aleatoria discreta Zipf

Beta

f_X(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma (\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} x^{\alpha-1} (1-x)^{\beta-1} && ,\alpha>0 \\, && \beta>0 \\ , && 0 < x < 1 \\ 0 && \text{otro caso} \end{cases}

E[X] = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}

VAR[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}

Nota: La variable aleatoria Beta es util para modelar una variedad de formas de funciones de densidad de probabilidad en intervalos finitos

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