Categoría: Término 2

Sea V=M_{2\times 2}, el espacio vectorial de las matrices simétricas de orden 2, sobre \mathbb{R} y sean los subespacios:

a. Encuentre el subespacio intersección expresado como un conjunto con condiciones, una base y su dimensión.

b. Encuentre el subespacio suma, una base y su dimensión.

Determine los valores reales de \alpha para que el sistema \left\{\begin{array}{rrr} x+\alpha y+3z & = & 2 \\ x+y-z & = & 1 \\ 2x+3y+\alpha z & = & 3 \end{array}\right. tenga:

a. Infinitas soluciones.

b. Solución única.

c. Ninguna solución.

Dada A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & 4 & -2 & 1\\ -2 & -5 & 7 & 3 \\3 & 7 & -8 & 6\end{array}\right), determine:

a. Si u=(3,-2,-1,0) es un elemento del núcleo de A.

b. Si v=(3,-1,3) es un elemento de la imagen de A.

c. Nulidad de A.

d. Dimensión de la imagen de A.

Califique, justificando cada respuesta, como verdadero o falso las siguientes proposiciones.

a. El conjunto solución del sistema \left\{\begin{array}{c} x_1+x_2=1 \\ x_3+x_4=0 \end{array}\right. es un subespacio vectorial de \mathbb{R}^4.

b. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K} y W un subespacio de V. Si v\notin W entonces, v+w \notin W para cada w de W.

c. Sean V un espacio vectorial sobre un campo \mathbb{K}, A y B subconjuntos de V. Entonces Gen(A\cap B)=Gen(A) \cap Gen(B).

d. Si \{u,v\} es un conjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V, entonces \{u+v,u+w,v+w\} es un conjunto linealmente independiente para todo vector no nulo w de V.

e. Sea A una matriz cuadrada. Si el espacio columna de A es igual al espacio renglón de A, entonces A es una matriz simétrica.